ラグランジュの未定乗数法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/28 14:27 UTC 版)
「凸最適化」の記事における「ラグランジュの未定乗数法」の解説
標準形に表された凸最小化問題を考える。コスト関数を f ( x ) {\displaystyle f(x)} 、不等式制約を g i ( x ) ≤ 0 ( i = 1 … m ) {\displaystyle g_{i}(x)\leq 0(i=1\ldots m)} とすると、定義域 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} は X = { x ∈ X | g 1 ( x ) ≤ 0 , … , g m ( x ) ≤ 0 } . {\displaystyle {\mathcal {X}}=\left\lbrace {x\in X\vert g_{1}(x)\leq 0,\ldots ,g_{m}(x)\leq 0}\right\rbrace .} この問題に対するラグランジュ関数は L(x,λ0,...,λm) = λ0f(x) + λ1g1(x) + ... + λmgm(x). X上の関数fを最小化するX上の点xに関して実数値のラグランジュ係数λ0, ..., λmが存在し、以下を満たす。 X上のすべての変数に関してxはL(y, λ0, λ1, ..., λm) を最小化する λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, ..., λm ≥ 0, 少なくともひとつは λk>0, λ1g1(x) = 0, ..., λmgm(x) = 0 (相補スラック性).
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