ヘルムホルツの定理(流体力学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)
「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「ヘルムホルツの定理(流体力学)」の解説
本節では、ケルビンストークスの定理を、層状ベクトル場に適応することで、一つの定理を導き出す。この定理は、流体力学でヘルムホルツの定理この定理は、層状ベクトル場をよく特徴づけるが、ホモトピー論においても重要なものである。 Theorem 2-1 (Helmholtz's Theorem in Fluid Dynamics). 及び、 藤本を参照のことU ⊆ R3 を開集合とし、 Fは、層状ベクトル場とする。 さらに、区分的滑らかな曲線c0, c1 : [0, 1] → Uを考える。このとき2変数関数 H : [0, 1] × [0, 1] → U が、 [TLH0] H 区分的になめらか [TLH1] H(t, 0) = c0(t) for all t ∈ [0, 1], [TLH2] H(t, 1) = c1(t) for all t ∈ [0, 1], [TLH3] H(0, s) = H(1, s) for all s ∈ [0, 1]. であるとき、以下が成り立つ。 ∫ c 0 F d c 0 = ∫ c 1 F d c 1 {\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} d{c}_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} dc_{1}} 大変紛らわしいことに、例えばLawrence では、Theorem 2-1のc0 と c1のような関係にあるような2曲線の関係は単に「ホモトピック」と呼ばれている。また、Theorem 2-1のような H : [0, 1] × [0, 1] → U を、c0 と c1”の間のホモトピーと称している。保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。 しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味（より弱い条件のものを指す）で使われる。 従って、ホモトピー、ホモトピックという言葉が、Theorem 2-1の意味（[TLH3]を要請する）なのか、通常の意味なのかを区別する適切な言い方が、見当たらない。そこで、当座において区別を必要とする場合には、本記事に限った言い方として、Tube-like-Homotopy Tube-Homotopeという言い方を、Theorem 2-1の意味であることを強調するために用いることにする。
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ヘルムホルツの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:02 UTC 版)
詳細は「ヘルムホルツの定理」を参照 全てのベクトル場 V は、スカラーポテンシャル φ 、ベクトルポテンシャル A を用いて、 V = ∇ ϕ + ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {V}}=\nabla \phi +\nabla \times {\boldsymbol {A}}} と表せる。
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