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フレネ・セレの公式

(フレネ–セレの公式から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 14:43 UTC 版)

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空間曲線; ベクトル T, N , B; そして T と N で張られる接触平面。

フレネ・セレの公式 (ふれねせれのこうしき、英: Frenet–Serret formulas) は、3次元ユークリッド空間内 R³ 内の連続で微分可能な曲線上を動く粒子の運動学的性質、あるいは、曲線自身の幾何学的性質を記述するベクトル解析の概念の一つである。

公式

この公式は、曲線に対する接線方向 (tangent)・主法線方向 (normal)・従法線方向 (binormal)を指す３つの単位ベクトルの組{T, N, B }からなるフレネ・セレ標構とその微分との間の線形関係について記述したものであり、二人のフランス人数学者ジャン・フレデリック・フルネ（英語版） (Jean Frédéric Frenet, 1847) とジョゼフ・アルフレッド・セレ（英語版） (Joseph Alfred Serret, 1851) によって独立に発見された。

フレネ・セレ基底を構成する単位接ベクトル T ・単位主法線ベクトル N ・単位従法線ベクトル B は次のように定義される。

T は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
N は T を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
B は T と N のベクトル積である。

フレネ・セレの公式は

{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}&=&&\kappa {\boldsymbol {N}}&\\&&&&\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {N}}}{\mathrm {d} s}}&=&-\kappa {\boldsymbol {T}}&&+\,\tau {\boldsymbol {B}}\\&&&&\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {B}}}{\mathrm {d} s}}&=&&-\tau {\boldsymbol {N}}&\end{matrix}}

半径 r (>0)、間隔 2π h 、角速度ω(>0)の螺旋上の運動

{\begin{aligned}x(t)&=r\cos(\omega t)\\y(t)&=r\sin(\omega t)\\z(t)&=h\omega t\end{aligned}}

を考える。弧長は

s(t)={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\,\omega t

で与えられる。

フレネ・セレ標構は

{\begin{aligned}{\boldsymbol {T}}(s)&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}{\begin{pmatrix}-r\sin(\omega t),&r\cos(\omega t),&h\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {N}}(s)&={\begin{pmatrix}-\cos(\omega t),&-\sin(\omega t),&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {B}}(s)&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}{\begin{pmatrix}h\sin(\omega t),&-h\cos(\omega t),&r\end{pmatrix}}\end{aligned}}

であり、曲率・捩率は

{\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\\tau &={\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}

となる。

h =0 のとき、軌道は xy 面内の半径 r の円周になり、曲率は κ=1/r 、捩率は τ =0 となる。|h| が大きくなるにつれ、曲率はκ→0、捩率は τ →1/h となる。

応用例

ロボットマニピュレータの姿勢とその軌道を記述したり^[1]^[2]、蛇型ロボットや多関節ロボットを連続曲線で近似して表現^[3]^[4]する際に用いられる。

参考文献

小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房〈基礎数学選書17〉、1977年。
小林昭七『曲線と曲面の微分幾何(改訂版)』裳華房、1995年。ISBN 978-4-7853-1091-2。
蘭豊礼、玉井博文、三浦憲二郎、牧野洋「リニアな曲率・捩率を持つセグメントによる軌道生成」『精密工学会誌』第78巻第7号、2012年、 605-610頁。
Jorge Angeles (2003) (PDF). Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Theory, Methods, Algorithms, second Edition. Mechanical Engineering Series. Springer, New York. ISBN 0-387-95368-X 2014年7月9日閲覧。 (TLFeBOOK)
Jorge Angeles (2014). Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Theory, Methods, Algorithms, Fourth Edition. Mechanical Engineering Series. Springer, New York. ISBN 978-3-319-01850-8 (first edition published in 1997)
山田浩也、広瀬茂男「索状能動体の研究―多関節体幹による連続曲線近似法―」『日本ロボット学会誌』第26巻第1号、2008年、 110-120頁。
山田浩也『索状能動体の3次元運動解析に基づく機構と制御の研究』東京工業大学〈博士論文(甲第7192号)〉、2008年3月26日。

表話編歴微分幾何学において定義される様々な曲率の概念
曲線の微分幾何学（英語版）	曲率捩率フルネ・セレの公式曲率半径 (応用)（英語版）アフィン曲率（英語版）全曲率（英語版）全絶対曲率（英語版）
曲面の微分幾何学（英語版）	主曲率ガウス曲率平均曲率（英語版）ダルブー標高（英語版）ガウス・コダッチ方程式（英語版）第一基本形式（英語版）第二基本形式（英語版）第三基本形式（英語版）
リーマン幾何学	リーマン多様体の曲率（英語版）リーマン曲率テンソルリッチ曲率スカラー曲率断面曲率
接続の曲率（英語版）	曲率形式捩れテンソル余曲率（英語版）ホロノミー（英語版）

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