ケイリー-ハミルトンの定理とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 固有名詞の種類 > 方式・規則 > 理論・法則 > 定理・公理 > 定理 > ケイリー-ハミルトンの定理の意味・解説 

ケイリー・ハミルトンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/07/06 03:26 UTC 版)

王立協会フェローアーサー・ケイリー (1821-1895) は19世紀のブリテンを代表する純粋数学者として広く知られている。ケイリーは1848年にダブリンに赴き、ハミルトンから発見者直々に四元数の講義を受けている。のちにケイリーは、四元数に関する成果を出版する2番目となることによりハミルトンに印象付けた[1]。 ケイリーは 3次以下の行列に対して定理を証明したが、2次の場合に対してだけ証明を発表した[2][3]。一般の n次の場合についてケイリーは「……、任意次数の行列という一般の場合に定理をきちんと証明する労を引き受ける必要を覚えない。」と述べている。
アイルランドの物理学・天文学・数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1805-1865) は米国科学アカデミー初の外国人会員である。幾何学をいかにして研究すべきかについては対立する位置に立ちながらも、ハミルトンは常にケイリーと最良の関係を留めていた[1]。 ハミルトンは四元数に関する線型函数に対して、それ自身が満足するある種の方程式の存在を証明した[4][5][6]

線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、: Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、(実数体や複素数体などの)可換環上の正方行列固有方程式を満たすという定理である[7]アーサー・ケイリーウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。

n次正方行列 A に対して、Inn単位行列とすると、A固有多項式

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス (1849-1917) はドイツの数学者。主な興味は楕円函数微分方程式、のちに群論
1878年、フロベニウスがケイリー・ハミルトンの定理の完全な証明を初めて与えた[13]

代数的数論

代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー・ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α1, …, αk] とその代数的整数 α(これは添加された元の冪積 α n1
1
 
α nk
k
 
の非自明な Q-線型結合に書ける)が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換

カテゴリ

ケイリー・ハミルトンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/09 00:38 UTC 版)

余因子行列」の記事における「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説

詳細は「ケイリー・ハミルトンの定理」を参照 pA(t) を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列零行列になることをいう: p A ( A ) = O {\displaystyle p_{A}(A)=O} 定数項分離し両辺adj(A)掛けることで、余因子行列は A と pA(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ次のうになるadj( A ) = ∑ s = 0 n − 1 A s ∑ k 1 , ⋯ , k n − 1 ∏ ℓ = 1 n − 1 ( − 1 ) k ℓ + 1 ℓ k ℓ k ℓ ! tr ⁡ ( A ℓ ) k ℓ {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}} ここで n は A の次数総和 ∑ の s, 数列 kl ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式満たしながら取るものとするs + ∑ ℓ = 1 n − 1 ℓ k ℓ = n − 1 {\displaystyle s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1} 特に 2次場合は、次のうになるadj( A ) = I 2 ( tr ⁡ A ) − A {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A} 3次場合adj( A ) = 1 2 I 3 ( ( tr ⁡ A ) 2 − trA 2 ) − A ( tr ⁡ A ) + A 2 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}} 4次の場合adj( A ) = 1 6 I 4 ( ( tr ⁡ A ) 3 − 3 trA trA 2 + 2 tr ⁡ A 3 ) − 1 2 A ( ( tr ⁡ A ) 2 − trA 2 ) + A 2 ( tr ⁡ A ) − A 3 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}} 上記表示式は、A の固有多項式効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithm最後段階からも直接導出することができる。

※この「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説は、「余因子行列」の解説の一部です。
「ケイリー・ハミルトンの定理」を含む「余因子行列」の記事については、「余因子行列」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「ケイリー-ハミルトンの定理」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ



固有名詞の分類


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「ケイリー-ハミルトンの定理」の関連用語

ケイリー-ハミルトンの定理のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



ケイリー-ハミルトンの定理のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのケイリー・ハミルトンの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの余因子行列 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS