単因子による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「単因子による証明」の解説
単因子論を用いると、簡単に導出できる。ただし、単因子標準形の存在・一意性の証明にはかなりの工程を要する。 文献に掲載されている方法による。 xI − A の単因子標準形は、 deg det ( x I − A ) = n {\displaystyle \deg \det(xI-A)=n} より、 P ( x ) ( x I − A ) Q ( x ) = ( e 1 ( x ) ⋱ e n ( x ) ) {\displaystyle P(x)(xI-A)Q(x)={\begin{pmatrix}e_{1}(x)&&\\&\ddots &\\&&e_{n}(x)\\\end{pmatrix}}} の形となる。ここで、ek(x) はモニック多項式、ek−1(x) | ek(x)（つまり ek(x) は ek−1(x) で割り切れる）である。 単因子論で知られている結果として、最後の単因子 en(x) は A の最小多項式 φA(x) に等しい。 p A ( x ) = det ( x I − A ) = det P ( x ) − 1 ⋅ ( e 1 ( x ) ⋯ e n − 1 ( x ) ϕ A ( x ) ) ⋅ det Q ( x ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(x)&=\det(xI-A)\\&=\det P(x)^{-1}\cdot (e_{1}(x)\cdots e_{n-1}(x)\phi _{A}(x))\cdot \det Q(x)^{-1}\end{aligned}}} 故に固有多項式 pA(x) は最小多項式 φA(x) で割り切れると分かる。故に p(A) = O（証明終）
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