高次の冪の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「高次の冪の計算」の解説
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ（最もとは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。 例えば二次の場合に、 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} とすれば定理より A 2 = tr ( A ) A − det ( A ) I 2 {\displaystyle A^{2}=\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}} だから、A4 を計算したければ、順に A 3 = ( tr ( A ) A − det ( A ) I 2 ) A = tr ( A ) ( tr ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − det ( A ) A = ( tr ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr ( A ) det ( A ) I 2 A 4 = ( ( tr ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr ( A ) det ( A ) I 2 ) A = ( tr ( A ) 2 − det ( A ) ) ( tr ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − tr ( A ) det ( A ) A = ( tr ( A ) 3 − 2 tr ( A ) det ( A ) ) A − ( tr ( A ) 2 det ( A ) − det ( A ) 2 ) I 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2})A=\operatorname {tr} (A)(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\det(A)A=\color {green}{(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}}\\[5pt]A^{4}&=(\color {green}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}\color {black})A=(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\operatorname {tr} (A)\det(A)A\\&=(\operatorname {tr} (A)^{3}-2\operatorname {tr} (A)\det(A))A-(\operatorname {tr} (A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}} のように次数の低い多項式表示に帰着される。同様に A − 1 = − A − tr ( A ) I 2 det ( A ) . {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {A-\operatorname {tr} (A)I_{2}}{\det(A)}}.} 二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算から分かる。事実として、任意の k-乗がその正方行列の次数 n に対して次数高々 n − 1 の多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。
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