高次の理論計算（QED2ループ）
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「異常磁気モーメント」の記事における「高次の理論計算（QED2ループ）」の解説
QED2ループの異常磁気モーメントの普遍項は、7種類のファインマン図を足し上げることで計算され、その結果は以下となる。 A 1 2 − l o o p = [ 197 144 + π 2 12 − π 2 2 ln 2 + 3 4 ζ ( 3 ) ] ≈ − 0.328 478 965 579 193 78 {\displaystyle A_{1}^{\mathrm {2-loop} }=\left[{\frac {197}{144}}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}\ln 2+{\frac {3}{4}}\zeta (3)\right]\approx -0.328\,478\,965\,579\,193\,78} ここで、ζ(3)はリーマンゼータ関数である。この計算は1950年にKarplusとKrollによって行われたが、その結果は間違っていたため、1957年にPetermannとSommerfieldによって再導出された。
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高次の理論計算（QED3ループ）
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「異常磁気モーメント」の記事における「高次の理論計算（QED3ループ）」の解説
QED3ループの異常磁気モーメントの普遍項は、72種類のファインマン図を足し上げることで計算され、その結果は以下となる。 A 1 3 − l o o p = [ 28259 5184 + 17101 810 π 2 − 298 9 π 2 ln 2 + 139 18 ζ ( 3 ) + 100 3 { L i 4 ( 1 2 ) + 1 24 ln 4 2 − 1 24 π 2 ln 2 2 } − 239 2160 π 4 + 83 72 π 2 ζ ( 3 ) − 215 24 ζ ( 5 ) ] ≈ 1.181 241 456 587 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}^{\mathrm {3-loop} }=&\left[{\frac {28259}{5184}}+{\frac {17101}{810}}\pi ^{2}-{\frac {298}{9}}\pi ^{2}\ln 2+{\frac {139}{18}}\zeta (3)\right.\\&\left.+{\frac {100}{3}}\left\{\mathrm {Li} _{4}({\frac {1}{2}})+{\frac {1}{24}}\ln ^{4}2-{\frac {1}{24}}\pi ^{2}\ln ^{2}2\right\}\right.\\&\left.-{\frac {239}{2160}}\pi ^{4}+{\frac {83}{72}}\pi ^{2}\zeta (3)-{\frac {215}{24}}\zeta (5)\right]\approx 1.181\,241\,456\,587\end{aligned}}} ここで、 L i 4 ( 1 / 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 / ( 2 n n 4 ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{4}(1/2)=\sum _{n=1}^{\infty }1/(2^{n}n^{4})} である。3ループ計算の値は1995年に木下東一郎によって数値的に計算され、1996年には上式のような解析的な表記がLaportaとRemiddiによって導出された。
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高次の理論計算（QED4ループ）
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「異常磁気モーメント」の記事における「高次の理論計算（QED4ループ）」の解説
QED4ループの異常磁気モーメントの普遍項は、891種類のファインマン図を足し上げることで計算される。この中で、373個の図は真空偏極による閉じたレプトンループを持ち、残りの518個の図はレプトンループを持たない4個の光子が飛ぶだけの過程である。木下らによる2007年の数値的な計算によると、その結果は以下のようになる。 A 1 4 − l o o p ≈ − 1.914 4 ( 35 ) {\displaystyle A_{1}^{\mathrm {4-loop} }\approx -1.914\,4(35)}
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