グーデルマン関数

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グーデルマン関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/12 04:00 UTC 版)

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グーデルマン関数は、共通のステレオ投影を介して、扇形の面積を双曲線扇形（英語版）の面積に関連付ける。青い双曲線扇形の面積の2倍が ψ である場合、赤い扇形の面積の2倍は ϕ = gd ψ となる。紫色の三角形の面積の2倍が s = tan 1/2ϕ = tanh 1/2ψ. のようにステレオ投影に相当する。青点の座標が (cosh ψ, sinh ψ). 赤点の座標が (cos ϕ, sin ϕ), 紫点の座標が (0, s) に相当する。

グーデルマン関数（グーデルマンかんすう、英語: Gudermannian function、ドイツ語: Gudermannfunktion）は、クリストフ・グーデルマン（英語版）（1798–1852）にちなんで命名された、複素数を用いない三角関数及び双曲線関数と関係する関数である。

定義

グーデルマン関数（赤色）とその漸近線 y = ± π/2 を点線で示したグラフ。

定義は以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan \left(\sinh x\right)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}}$

グーデルマン関数の逆関数（青色）とその漸近線 x = ± π/2 を点線で示したグラフ。

グーデルマン関数の逆関数（逆グーデルマン関数又はランベルト関数と称する）は、区間 ${\displaystyle \left(-\pi /2,\pi /2\right)}$