媒介変数による表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/09 06:54 UTC 版)
「トラクトリックス」の記事における「媒介変数による表示」の解説
媒介変数表示では x = a ( log tan θ 2 + cos θ ) , y = a sin θ {\displaystyle x=a\left(\log \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta } と表される。ここで、座標原点に犬の飼い主が、y軸上の点 (0, a) に長さ a のリードにつながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡がトラクトリックスになる。 θ {\displaystyle \theta } は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。そのため、トラクトリックスは牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線などとも称される。 あるいは、 ϑ = θ + π 2 {\displaystyle \vartheta =\theta +{\frac {\pi }{2}}} として x = a ( gd − 1 ϑ − sin ϑ ) , y = a cos ϑ {\displaystyle x=a\left(\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta -\sin \vartheta \right),\;y=a\cos \vartheta } と表される。ただし、 gd − 1 ϑ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\vartheta } はグーデルマン関数の逆関数である。さらに、 t = gd − 1 ϑ {\displaystyle t=\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta } とおくことにより x = a ( t − tanh t ) , y = a sech t {\displaystyle x=a\left(t-\tanh t\right),\;y=a\operatorname {sech} t} と表すこともできる。
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