カタランの定数

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カタランの定数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/15 22:04 UTC 版)

数学において、カタランの定数 G（カタランのていすう、英語: Catalan's constant）とは、ディリクレベータ函数 β を用いて以下のように定義される定数である。

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}$

G が無理数・超越数なのかは未だに分かっていない^[2]。G は「無理数や超越数であるかどうかが（そうであると強く推測されながらも）今だ明らかでない最も基礎的な定数」だと言われている^[3]。

カタランの定数は、級数の数値計算のために素早く収束する級数を発見し^[4]、1865年にその回顧録を出版したウジェーヌ・カタランに因んで名付けられた^[5]。

適用事例

• 低次元トポロジーにおいて、カタランの定数はイデアルな双曲八面体の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッド環の補集合の双曲体積の1/4である^[6]。また、ボロミアン環の補集合の体積の1/8である^[7]。
• 組み合わせ数学と統計力学において、格子グラフ（英語版）上のドミノタイリング^[8]や全域木^[9]、ハミルトン路^[10]の数え上げと関連している。
• 数論において、カタランの定数はハーディ・リトルウッドのF予想での n² + 1 という形で表される素数の個数の漸近式に現れる。しかしながら、この形式をした素数が無限個存在するかどうかすら未解決（ランダウの問題（英語版）の1つ）である^[11]。
• 渦巻銀河の質量分布（英語版）の計算においてカタランの定数が現れる^[12][13]。
• 双曲線正割分布において、分布のエントロピーはカタランの定数の ${\displaystyle 4/\pi }$