グロス=ピタエフスキー方程式

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グロス＝ピタエフスキー方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/09 15:07 UTC 版)

グロス＝ピタエフスキー方程式（グロス＝ピタエフスキーほうていしき、英: Gross–Pitaevskii equation; GPE）は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー＝フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。

グロス＝ピタエフスキー方程式の名前は、ユージン・グロスとレフ・ピタエフスキーに因む。グロス＝ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。

ハートリー＝フォック近似において N 体のボソン系全体を表す波動関数 Ψ は、個々のボソンに対応する波動関数たち {ψ_i}_{i ∈ [N]} の積状態として表すことができる。

$\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})=\psi ({\boldsymbol {r}}_{1})\psi ({\boldsymbol {r}}_{2})\dots \psi ({\boldsymbol {r}}_{N})$

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変分法による近似解

厳密な解析解が適用できる系からかけ離れた状況にある系に対しても、変分法を用いた近似によって解を評価することができる。基本的なアイデアは、波動関数に対して変分に用いる何らかのパラメタを設定し、系の自由エネルギーを考えることである。基底状態の波動関数は自由エネルギーを最小化する変分パラメタを決定することによって得られる。

トーマス＝フェルミ近似

ボソン気体系の粒子数が非常に大きい場合、ハミルトニアンのボソン間相互作用項の寄与はボソンの運動エネルギー項よりはるかに大きくなる。従って、粒子数が充分大きい場合には運動エネルギー項を無視することができる。（全体に対し寄与の小さい）運動エネルギー項をハミルトニアンから落とす近似をトーマス＝フェルミ近似という。トーマス＝フェルミ近似の下で、グロス＝ピタエフスキー方程式の解は厳密に求めることができ、以下のようになる。

$\psi (x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}&\left({\frac {\mu -V(x)}{g}}\geq 0\right)\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$

参考文献

• Gross, E.P. (1961-05). “Structure of a quantized vortex in boson systems”. Il Nuovo Cimento 20 (3): 454–457. doi:10.1007/BF02731494. 
• Pitaevskii, L. P. (1961-08). “Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas”. Soviet Physics JETP 13 (2): 451–454. http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_013_02_0451.pdf. 
• Hugenholtz, N. M.; Pines, D. (1959). “Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons”. Physical Review 116 (3): 489–506. Bibcode: 1959PhRv..116..489H. doi:10.1103/PhysRev.116.489. 
• Pethick, C. J. & Smith, H. (2002). Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-66580-9 .
• Pitaevskii, L. P. & Stringari, S. (2003). Bose–Einstein Condensation. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850719-4 .

外部リンク

• Trotter-Suzuki-MPI リー＝トロッター積公式の応用であるトロッター＝鈴木分解を利用した巨大スケールのシュレーディンガー方程式シミュレーション用の並列計算ライブラリ。主な対象としてグロス＝ピタエフスキー方程式が含まれている。

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グロス=ピタエフスキー方程式

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「ボース＝アインシュタイン凝縮」の記事における「グロス=ピタエフスキー方程式」の解説

詳細は「グロス＝ピタエフスキー方程式」を参照 BECの凝縮相は凝縮体の波動関数と呼ばれる秩序変数Ψにより、記述される。粒子間の相互作用の到達距離が原子間距離よりも十分小さいと仮定すると、Ψ(r, t)は次の時間に依存したグロス=ピタエフスキー方程式を満たす。 i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = ( − ℏ 2 ∇ 2 2 m + V e x t ( r ) + g | Ψ ( r , t ) | 2 ) Ψ ( r , t ) ここで、Vext は凝縮体をトラップするための外部ポテンシャルである。また、定数 g は g = 4 π ℏ 2 a m で与えられる相互作用の結合定数であり、a はs波散乱の散乱長である。g > 0（a > 0）の場合には、原子間に働く相互作用が斥力、g < 0（a < 0）の場合には、引力であることを示す。この方程式による記述が有効であるのは、平均原子間距離がs波散乱長よりも十分大きく、凝縮体の原子数が十分多い場合に限られる。また、定常状態では ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V e x t ( r ) + g | Ψ ( r , t ) | 2 ) Ψ ( r , t ) = μ Ψ ( r , t ) となる。