リー・トロッター積公式とは？わかりやすく解説

数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられたリーの積公式 (英: Lie product formula) は、任意の実あるいは複素正方行列 $A$ , $B$ に対して、

e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n}

が成り立つという定理である。ここで $e A$ は $A$ の行列指数関数を表す。リー・トロッターの積公式 (Lie–Trotter product formula) (Trotter 1959) およびトロッター・加藤の定理 (Trotter–Kato theorem) (Kato 1978) はこれをある種の非有界線型作用素 $A$ , $B$ に拡張する。

定理

$A, B$ を同じ次数の任意の実または複素正方行列、 $n$ を自然数とするとき、次の式が成立する。

e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n}.

ここで $e A$ は行列指数関数による $A$ の像であり、次の式により定義される。

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}.

ただし、 $A 0 = I$ （単位行列）である。

また、行列 $A$ のノルムは次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。

\|A\|={\frac {1}{\sqrt {\dim A}}}{\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}.

ただし、 $| a ij |$ は $A$ の $(i, j)$ 成分の絶対値、 $dim A$ は $A$ の次元である。係数 $1/{\sqrt {\dim A}}$ は単位行列 $I$ のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

e^{x+y}=e^{x}e^{y}

この式は、 $x,y$ が任意の実数または複素数の場合に成立する。後で使うので、この公式の証明を記しておく。

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}

e^{x}e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {y^{m}}{m!}}

e^{x+y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}

ここで二項定理 $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}\!C_{k}x^{k}y^{n-k}$ を使えば、

e^{x+y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{}_{n}\!C_{k}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {y^{m}}{m!}}

従って $e^{x}e^{y}$ と $e^{x+y}$ は一致する。

$x,y$ を行列 $A,B$ で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に $A$ と $B$ が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、 $A$ と $B$ が可換でなくても一般に成立する(ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式（英語版）も参照)。

より一般的には、 $A, B$ を行列に限定せず、任意のノルム空間 $V$ 上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間 $V$ 上の線形作用素 $A$ のノルム $|| A ||$ に置き換えるものとする。

\|A\|=\sup _{x\in V}{\frac {|Ax|}{|x|}}

この定義では、ノルム空間 $V$ 上の恒等写像 $I$ のノルムは 1 である。

証明で使うので、ノルム $\|\,\|$ の性質をまとめておく(証明は簡単であるので省略する)。

(1)

\|A\|=0\leftrightarrows A=0

(2)

a

をノルム空間

V

の任意のスカラーとすれば

\|aA|=|a|\,\|A\|

(3)

\|AB\|\leq \|A\|\,\|B\|

(4)

\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|

(5)

|\,\|A\|-\|B\|\,|\leq \|A-B\|

これらは、行列のノルムでも成立する。

証明

特に複素正方行列の場合について証明する。以下の証明は (窪田 2008, pp. 34–36) による。次の補題を用いる。

補題

$A,B$ を同じ次数の任意の複素正方行列とすると、次の関係が成り立つ^[1]。

|\|e^{A}e^{B}\|-\|e^{A+B}\||=O(\|A\|\,|B\|)

ただし、 $O(\cdot )$ はランダウの記号である。

補題の証明

行列 $A,B$ の多項式 $f(A,B),g(A,B)$ を次のように定義する。

f(A,B)=e^{A}e^{B}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B^{n}}{n!}}+I

g(A,B)=e^{A+B}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B^{n}}{n!}}+I

多項式 $f(A,B),g(A,B)$ の各項は $A$ および $B$ を必ず1個以上は含んでいる。

e^{A}e^{B}-e^{A+B}=f(A,B)-g(A,B)

である。ノルム $\|\,\|$ の性質 (3),(4) から、

\|e^{A}e^{B}-e^{A+B}\|=\|f(A,B)-g(A,B)\|\leq f(\|A\|,\|B\|)+g(\|A\|,\|B\|)

ノルムの性質 (5) から

|\|e^{A}e^{B}\|-\|e^{A+B}\||\leq f(\|A\|,\|B\|)+g(\|A\|,\|B\|)

$f(\|A\|,\|B\|)$ と $g(\|A\|,\|B\|)$ の各項は $\|A\|$ および $\|B\|$ を必ず1個以上は含んでいるので $|\|e^{A}e^{B}\|-\|e^{A+B}\||$ は $\|A\|\,|B\|$ を因数に持つ。これは補題の主張の別表現である。□

補題から $n$ を自然数として任意の行列 $A,B$ に対して次の式が成り立つ。

e^{A/n}e^{B/n}=e^{(A+B)/n}+O(\|A/n\|\|B/n\|)=e^{(A+B)/n}+O(\|A\|\|B\|/n^{2})

従って、

\ (e^{A/n}e^{B/n})^{n}=(e^{(A+B)/n}+O(\|A\|\|B\|/n^{2}))^{n}=e^{A+B}+O(\|A\|\|B\|/n)

となるから、

\lim _{n\to \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n}=e^{A+B}

が成り立つ。

応用

この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレーディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている^[2]。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

参考文献

伊勢幹夫、竹内勝『Lie 群 I』岩波書店〈岩波講座基礎数学〉、1977年。
大貫, 義郎、柏, 太郎、鈴木, 増雄『経路積分の方法』岩波書店〈現代物理学叢書〉、2000年。
小林, 俊行、大島, 利雄『リー群と表現論』岩波書店、2005年。ISBN 4-00-006142-9。
窪田, 高弘『物理のためのリー群とリー代数』サイエンス社〈臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ〉、2008年。
Sophus Lie and Friedrich Engel (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (1st edition, Leipzig; 2nd edition, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction, Lecture Notes in Mathematics, 423 (1st ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079827, ISBN 978-3-540-07785-5 .
Hall, Brian C. (2003), Lie groups, Lie algebras, and representations: an elementary introduction, Springer, ISBN 978-0-387-40122-5 , pp. 35.
“Trotter product formula”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Kato, Tosio (1978), “Trotter's product formula for an arbitrary pair of self-adjoint contraction semigroups”, Topics in functional analysis (essays dedicated to M. G. Kreĭn on the occasion of his 70th birthday), Adv. in Math. Suppl. Stud., 3, Boston, MA: Academic Press, pp. 185–195, MR 538020
Trotter, H. F. (1959), “On the product of semi-groups of operators”, Proceedings of the American Mathematical Society 10 (4): 545–551, doi:10.2307/2033649, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033649, MR 0108732, https://jstor.org/stable/2033649
Varadarajan, V.S. (1984), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1 , pp. 99.
Suzuki, Masuo (1976). “Generalized Trotter's formula and systematic approximants of exponential operators and inner derivations with applications to many-body problems”. Comm. Math. Phys. 51: 183–190. doi:10.1007/bf01609348.

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