エントロピー最大化モデル

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エントロピー最大化モデル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/01 14:38 UTC 版)

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、英語: Entropy Maximising Models）は、アラン・G・ウィルソンにより導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。

モデル式

発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。

発生―吸収制約モデルの場合

$T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(1)

ただし $A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}B_{j}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}}$ $B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}A_{i}O_{i}\exp(-\beta d_{ij})}}$

発生制約モデルの場合

$T_{ij}=A_{i}O_{i}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})$

(2)

ただし $A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}}$

吸収制約モデルの場合

$T_{ij}=B_{j}{V_{i}}^{\alpha }D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(3)

ただし $B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}{V_{i}}^{\alpha }\exp(-\beta d_{ij})}}$

導出

発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。

発地を $m$個、着地を $n$個、流動数の総和を $T$、地域 $i$から地域 $j$への流動を $T_{ij}$とする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただし $C$は総移動費用）。

$\sum _{j=1}^{n}T_{ij}=O_{i}$

(4)

$\sum _{i=1}^{m}T_{ij}=D_{j}$

(5)

$\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij}=C$

(6)

ここでは $T$を $T_{ij}$に分配する、場合の数 $W(T_{ij})$の最大値の決定を行えばよい。このとき、

${\begin{aligned}W(T_{ij})&={\binom {T}{T_{11}}}{\binom {T-T_{11}}{T_{12}}}{\binom {T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}}}\cdots {\binom {T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1}}{T_{mn}}}\\&={\frac {T!}{T_{11}!(T-T_{11})!}}\cdot {\frac {(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!}}\cdots {\frac {(T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}}\\&={\frac {T!}{\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}\end{aligned}}$

(7)

が成立する。ここで、最大値の導出のために、式(7)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。

$\ln W(T_{ij})=\ln T!-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\ln {T_{ij}!}}$

(8)

ここで、スターリング近似により、 $T$が十分に大きいとき $\ln T_{ij}!\approx T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij}$が成り立つため

$\ln W(T_{ij})=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})$

(9)

が導かれる。よって、 $\ln W(T_{ij})$の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。 $\lambda _{i}$は式(4)、 $\gamma _{j}$は式(5)、 $\beta$は式(6)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数 $L$は

$L=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(O_{i}-\sum _{j=1}^{n}T_{ij})+\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}(D_{j}-\sum _{i=1}^{m},T_{ij})+\beta (C-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij})$

(10)

となる。ここで、 $L$の最大値を与える $T_{ij}$は、偏微分方程式 ${\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=0$を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。

${\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij}=0$

(11)

式変形すると、以下の式が得られる。

$T_{ij}=\exp(-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij})$

(12)

さらに式変形すると、以下の式が得られる。

$T_{ij}={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}\cdot {\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}\cdot \beta d_{ij}$

(13)

が得られる。このとき、

$A_{i}={\frac {\exp(-\lambda _{i})}{O_{i}}}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}$

(14)

$B_{j}={\frac {\exp(-\gamma _{j})}{D_{j}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}$

(15)

とおくと、式(13)は

$T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(16)

と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。

この他、発生制約モデルの場合は式(4)・式(6)を、吸収制約モデルの場合は式(5)・式(6)を、無制約モデルの場合は式(6)を制約条件として使用することで導出できる。

参考文献

• 石川義孝『空間的相互作用モデル―その系譜と体系―』地人書房、1988年。ISBN 4-88501-061-6。 
• 高阪宏行「空間的相互作用モデルとその展開」『人文地理学研究』第3巻、1979年、1-11頁。 
• 杉浦芳夫 著「空間的相互作用モデルの近年の展開」、野上道男、杉浦芳夫 編『パソコンによる数理地理学演習』古今書院、1986年、138-185頁。 ISBN 4-7722-1366-X。 
• 張長平「空間的相互作用による地域間の人口移動分析―在日中国人を事例として―」『国際地域学研究』第14巻、2011年、1-13頁。 
• 村山祐司 著「地域間の流動をみいだす」、村山祐司・駒木伸比古 編『新版 地域分析』古今書院、2013年、159-170頁。 ISBN 978-4-7722-5272-0。 

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エントロピー最大化モデル

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「空間的相互作用」の記事における「エントロピー最大化モデル」の解説

詳細は「エントロピー最大化モデル」を参照 エントロピー最大化モデル（entropy maximising models）は、アラン・G・ウィルソン（英語版）により導出された空間的相互作用モデルである。エントロピーの概念を用いて、統計力学的な方法でパーソントリップを分子運動のように捉えることでモデル式が導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部の解消につながった。