「偏積分」とは? わかりやすく解説

「偏積分」

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/28 20:59 UTC 版)

偏微分」の記事における「「偏積分」」の解説

通常の微分対す不定積分原始関数)に対応する概念を、偏微分に対して考えることができる。すなわち、偏導関数既知してもと関数復元する操作である。 例として、∂z⁄∂x = 2x + y を考える。偏微分するときにそうしたように y を定数見て、x に関する「偏」積分として z = ∫ ∂ z ∂ x d x = x 2 + x y + g ( y ) {\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)} をとることができる。ここに、積分定数」はもはや定数仮定することはできず、もとの関数の引数のうち x 以外のもの全て変数とするような函数考えなければならないなぜならば、x での偏微分に際してその他の変数全て定数として扱われるから、x を含まぬ任意の函数偏微分によって消えてしまうので、そのこと勘案して不定積分定式化せねばならない。こういったことを諸々含めた意味で、その他の変数をすべて含む未知函数を「定数」と呼ぶことにするのであるそうすると任意の一変函数 g を含む函数 x2 + xy + g(y) 全体の成す集合が、x に関する偏微分2x + y となる二変数 x, y の函数全体の成す集合を表すことがわかる。 仮に一つ函数任意の偏微分が(例え勾配などによって)既知であるならば、上記やり方以て全ての原始函数同定すれば、もとの函数定数の違いを除いて再構成することができる。

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