多重線型写像 多重線型写像の概要

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多重線型写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:29 UTC 版)

一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。

すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。

多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。

定義

k > 0 を整数とし、E₁, …, E_k, F を同じ体 K 上のベクトル空間とする。写像

$${\displaystyle f\colon E_{1}\times \ldots \times E_{k}\to F}$$

が多重線型（より明示的に k-重線型）であるとは、各変数について線型であること、つまり、任意のベクトル ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{k},x'_{i}}$ とスカラー a, b に対し、

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i-1},ax_{i}+bx'_{i},x_{i+1},\dots ,x_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})+bf(x_{1},\dots ,x'_{i},\dots x_{k})}$$

が成り立つことをいう。やや感覚的な言い方をすれば、k-重線型写像は、各因子に関して分配的な k 項の積と思える。

E₁ × ⋯ × E_k から F への k-重線型写像全体の集合は、E₁ × ⋯ × E_k から F へのすべての写像からなる空間 F^{E₁×⋯×E_n}（フランス語版）の部分ベクトル空間である。このベクトル空間を、L(E₁, …, E_k; F), あるいは E₁ = ⋯ = E_k = E であるときはより簡単に L_k(E; F) と記す。また特に、E 上の k-重線型形式の空間 L_k(E; K) を L_k(E) と書く。

空間 L(E₁, …, E_k; F) は、k = 1 のとき E = E₁ から F への線型写像の空間 L(E; F) にほかならないが、k > 1 のときには多重線型写像の空間 L(E₁, …, E_k; F) と直積ベクトル空間（フランス語版） E₁ × ⋯ × E_k 上の線型写像の空間とを混同してはならない。

• 例えば、K × K から K への写像の場合、乗法 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}x_{2}}$ は双線型だが線型でなく、対して射影 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}}$ は線型だが双線型でない。

しかしテンソル積空間 E₁ ⊗ ⋯ ⊗ E_k 上の線型写像の空間 L(E₁ ⊗ ⋯ ⊗ E_k; F) は（テンソル積の普遍性により）多重線型写像の空間 L(E₁, …, E_k; F) と対応する（後述）。

成分表示

${\textstyle {\mathcal {B}}_{1},\dotsc ,{\mathcal {B}}_{k}}$ はそれぞれ ${\textstyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}$ の（有限とは限らない）基底とすれば、制限写像

$${\displaystyle L(E_{1},\dotsc ,E_{k};F)\to F^{{\mathcal {B}}_{1}\times \dotsb \times {\mathcal {B}}_{k}},\qquad f\mapsto f_{|{\mathcal {B}}_{1}\times \dotsb \times {\mathcal {B}}_{k}}}$$

は全単射（そしてベクトル空間の同型である。すなわち、k重線型写像は基底ベクトルの k-組における値（これはベクトル空間 F の任意のベクトルを選びうる）によって一意に決定される。

有限次元の場合、1 ≤ i ≤ k に対して具体的に基底を ${\textstyle {\mathcal {B}}_{i}:=\{\mathbf {e} _{i1},\dotsc ,\mathbf {e} _{id_{i}}\}}$ と書けば、各空間 E_i の任意の元は

$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}X_{ij}\mathbf {e} _{ij}}$$

と書けるから、それらの k-組 ${\textstyle x_{1},\dotsc ,x_{k}}$ に対する k-重線型写像 ${\textstyle f\colon E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to F}$ の値は

$${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{k})=f{\Bigl (}\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}X_{1,j_{1}}\mathbf {e} _{1,j_{1}},\dotsc ,\sum _{j_{k}=1}^{d_{k}}X_{k,j_{k}}\mathbf {e} _{k,j_{k}}{\Bigr )}=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\dotsb \sum _{j_{k}=1}^{d_{k}}\prod _{l=1}^{k}X_{l,j_{l}}f(\mathbf {e} _{1,j_{1}},\dotsc ,\mathbf {e} _{k,j_{k}})}$$

であり、d₁ ⋯ d_k 個のベクトル ${\textstyle f(\mathbf {e} _{1,j_{1}},\dotsc ,\mathbf {e} _{k,j_{k}})}$ で完全に決定される。

• より単純な場合として、${\textstyle E_{1}=\dotsb =E_{k},\quad {\mathcal {B}}_{1}=\dotsb ={\mathcal {B}}_{k}=(e_{i})_{i=1,\dotsc ,d}}$ とすれば k-重線型写像 f は n^k 個のベクトル ${\textstyle f(e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{k}})}$ で決定される。特に、n-次元ベクトル空間 E 上の k-重線型形式の空間 L_k(E) の次元は n^k である。

さらに、F の基底 ${\textstyle {\mathcal {B}}:=\{\mathbf {b} _{1},\dotsc ,\mathbf {b} _{d}\}}$ をとれば

$${\displaystyle f(\mathbf {e} _{1,j_{1}},\dotsc ,\mathbf {e} _{k,j_{k}})=A_{j_{1}\dotsc j_{k}}^{1}\mathbf {b} _{1}+\dotsb +A_{j_{1}\dotsc j_{k}}^{d}\mathbf {b} _{d}}$$

を満たすスカラーのあつまり ${\textstyle \{A_{j_{1}\dotsc j_{k}}^{l}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq l\leq d\}}$ が一意に存在するから、f はこれらのスカラーによって完全に決定される:

$${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{l=1}^{d}A_{j_{1}\dotsc j_{k}}^{l}X_{1,j_{1}}\dotsb X_{k,j_{k}}\mathbf {b} _{l}.}$$

スカラー A l
j₁…j_k  を k-重線型写像 f の ${\textstyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{k}}$ に対する構造定数あるいは成分 (compenent) と呼ぶ。

例

双線型形式 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ を考えよう。これは上で述べた設定で、${\displaystyle V_{1}=V_{2}:=\mathbb {R} ^{2},d_{1}=d_{2}:=2}$ および ${\displaystyle W:=\mathbb {R} ,d:=1}$ とした場合である。また V_i の基底はすべて同じ ${\textstyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}}$ にとって ${\displaystyle f(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})=A_{ij}}$ と書く（基底の対は ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\},\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\},\{\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{1}\},\{\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{2}\}}$ の四つであり、それらにおける値である A_ij も四つある）。このとき、任意のベクトルの対における f の値は

$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}A_{ij}v_{1i}v_{2j}\qquad (\mathbf {v} _{i}:=v_{i1}\mathbf {e} _{1}+v_{i2}\mathbf {e} _{2})}$$

と書ける。あるいは

$${\displaystyle f({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}})=ac\;f({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})+ad\;f({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})+bc\;f({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})+bd\;f({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})}$$

のように書いてもいい。