多重線型写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:29 UTC 版)

性質

ここでは $E$ が有限 $n$ -次元であるとし、 $n$ -重線型交代形式（上の設定で $k = n$ , $F = K$ の場合）を考える。このとき、行列式の特徴づけ（ライプニッツの明示公式とは別の定義）を与えることができる。

$E$ の基底を $e 1, \dots, e n$ とし、各ベクトルを $v j ≔ \sum n i =1 X i,j e i$ と分解すれば、上で見たことから

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{n})}\prod _{j=1}^{n}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})

と書けるが、

f

の交代性（したがって反対称性）により置換

σ ≔ (i 1, \dots, i n)

ε (σ)

によって

f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})=\varepsilon (\sigma )f(e_{1},\dotsc ,e_{n})

と書き直せるから

{\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{n})&={\Bigl (}\color {red}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\color {black}{\Bigr )}f(e_{1},\dots ,e_{n})\\&=\color {red}{\det(x_{1},\dotsc ,x_{n})}\color {black}\cdot f(e_{1},\dotsc ,e_{n})\end{aligned}}

（二つ目の等号はライプニッツの明示公式による）が成り立つ。

n

-重交代形式

f

は

f(e_{1},\dotsc ,e_{n})

で決まるが、特に

f(e_{1},...,e_{n})=1

なるものとして行列式は特徴付けられる。

$E$ が $n$ -次元ならば、 $E n$ 上の $n$ -重線型交代写像の空間 $A n (E; F)$ は $F$ に同型である。
$E$ が $n$ 次元で $n > k$ のとき、 $E k$ 上の $k$ -重線型交代写像の空間 $A k (E; F)$ は ${\textstyle F^{\tbinom {n}{k}}}$ に同型である。^{[注釈 2]}
$n < k$ のときは明らかに $k$ -重交代写像は零写像のみである。

^ 上記の関係式では $~ f$ の値は単純テンソル上でしか与えられていないが、単純テンソルの全体はテンソル積空間全体を生成するから、線型写像 $~ f$ はこれだけで一意に決定されることに注意する。
^ より具体的に、交代形式の分解公式は行列式の代わりに小行列式を用いて $f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n}{\begin{vmatrix}X_{i_{1};1}&X_{i_{1};2}&\dots &X_{i_{1};k}\\X_{i_{2};1}&X_{i_{2};2}&\dots &X_{i_{2};k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{i_{k};1}&X_{i_{k};2}&\dots &X_{i_{k};k}\end{vmatrix}}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$ と与えられる。