ゼロの偶奇性
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数学的な文脈
数論の無数の結果から、偶数の代数的および算術的性質の基本的な定理が導かれる。そこで0を偶数とすることでさらに深い結論に到達する。例えば正の数が一意的な素因数を持つということは、ある数が異なる素因数を偶数個持つか奇数個持つかということが一意的に決定されるということを意味する。1は素数ではなく素因数も持たないから、0個の異なる素数の積と見なせる。そして0は偶数だから、1は異なる素因数を偶数個持つということになる。これよりメビウス関数は ゼロが偶数であるという事実と、偶数と奇数の交替性という事実があれば、すべての他の自然数の偶奇性を決定するためには十分である。この考え方は、「すべての偶数の自然数の集合」を次のように帰納的に定義することで定式化できる。
この定義は0と後者関数の存在という、自然数の最小の基礎のみ利用しているという概念的な有利さを持つ。そのため、それはen:Logical frameworkやIsabelle theorem proverのような計算機による論理システムに役に立つ。[55] この定義においては、ゼロの偶数性は、定理ではなく公理であり、従って、「0は偶数である」は、偶数の自然数が一つのモデルになるようなペアノ公理系における公理の一つとして解釈される[56]。
計算幾何学における古典的なポリゴンの点テストは上の考えの応用である。ある点があるポリゴンの中にあるかどうかを判定するためには、無限遠からその点に直線を引き、ポリゴンの境界とその直線が交わる回数を数える。その交差数が偶数であることと、その点がポリゴンの外側にあることは同値である。このアルゴリズムが有効なのは、直線が決してポリゴンと交わらないならばその交差数はゼロ、すなわち偶数であり、その点は外側にあるという事実による。その直線がポリゴンと交わるたびに、交差数は偶数と奇数を交代し、その点も内部と外部の間を交代する。[57][58]
グラフ理論において、2部グラフとは、それぞれの頂点が2種類に色分けされ、隣接する頂点は異なる色を持つようなグラフである。ある連結グラフが奇数の閉路を持たなければ、基点vを選び、各頂点をvからの距離が偶数か奇数かによって白と黒に塗分けることにより、2部グラフを構成できる。ここで、vからそれ自身への距離は0であり、0は偶数だから、基点自身は距離1であるような隣接点とは異なる色になる。[59]
代数的パターン
抽象代数学において、偶数は0を含むことを要求する多様な代数的構造を構成する。加法的単位元(ゼロ)が偶数であるという事実に、偶数の和も逆元も偶数であることと、和の結合律を加えると、偶数は群を構成することを意味する。さらに言えば、偶数の群は、すべての整数が構成する加法群の部分群である。これは部分群の概念の基本的な例である[54]。
群論の立場から言えば、一般的にある加法群において、減算の元で閉じている任意の非空な部分集合は必然的に部分群になり、特にそれは単位元を含んでいる。先に述べた、"偶数 - 偶数 = 偶数" という規則が0が偶数であるべきことを強要する、という結論は、この一般論における一つの具体例にすぎない[60]。
偶数の集合は整数の正規部分群だから、それは整数を剰余類に類別する。これらの剰余類は次の同値関係による同値類として構成できる。が偶数であるときと定義する。ここで0が偶数であることは二項関係の反射律として直接導かれる。[61] この部分群による剰余類はただ2つだけ(偶数と奇数)存在し、そこでその位数は2である
同様に、交代群は、n文字の対称群の位数2の部分群である。偶置換と呼ばれる交代群の要素は互換の偶数回数の積である。恒等置換は、互換の0回の積(つまり何もしない)と見なされ、0は偶数だからこれも偶置換である。これは対称群の単位元であるから、偶置換は対称群の部分群となる[62]。
- ^ Penner 1999, p. 34: 補題 B.2.2, 整数0は偶数であって奇数ではない. Penner は証明の中で存在記号を使用し、"0が偶数であることを見るために、を証明しなければならないが、これは、等式から導かれる "
- ^ Ball, Lewis & Thames (2008, p. 15)では、 ある数学的事実に対して、その数学的理由を生徒に教えたいと望んでいるが、彼らの生徒達は同じ定義を利用できず教えたとしても理解できないであろう、初等教育課程の教師に対するこのような挑戦を考察している。
- ^ Lichtenberg 1972, pp. 535–536 "...数とは対象物の集合に対して、それがいくつあるか?という疑問に答える ... ゼロは空集合の性質の数 .... もし各集合の要素が二つ一まとめのグループに区切られるならば... その集合の数は偶数である。"
- ^ Lichtenberg (1972, p. 535)の図1
- ^ Lichtenberg 1972, pp. 535–536 "二つの星のゼロ集合は太極図をなし、余る星はない。だからゼロは偶数である。"
- ^ Dickerson & Pitman 2012, p. 191.
- ^ Lichtenberg 1972, p. 537; 著者は、図3と比較して、 "もし偶数が同じ特殊な方法で特定されるならば...そのパターンから0を除外すべき理由はまったくない。"
- ^ Lichtenberg 1972, pp. 537–538 "より進んだレベルでは...(2 ×□) + 0としての表現される数は偶数...ゼロはこのパターンにうまくあてはまる"
- ^ Caldwell & Xiong 2012, pp. 5–6.
- ^ Gowers 2002, p. 118 "一見したところの資意的な1の除外(素数の定義から)...数についてある深い事実が表現されるわけではない。それはただ、任意に与えられた数を素数の中で素因数分解するただ一つの方法が存在するということが受け入れられ、有用な風習が発生したということだ。" さらなる議論はCaldwell & Xiong (2012)を見よ。
- ^ a b c Partee 1978, p. xxi
- ^ a b Stewart 2001, p. 54 これらの規則は与えられているが、言葉どおり引用されてはいない
- ^ a b c d Frobisher 1999, p. 41.
- ^ これはアメリカ合衆国、カナダ、イギリス、アイスランドの学習過程における場合である。Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 85)を参照のこと。
- ^ Frobisher 1999, pp. 31 (Introduction), 40–41 (The number zero), 48 (Implications for teaching)
- ^ Frobisher 1999, pp. 37, 40, 42; これは、1992年のthe mid-summer termに実施された調査からの結果である。
- ^ Frobisher 1999, pp. 40–42, 47; これらの結果は、到達レベルに違いのある3学校からの481人の生徒を含む1999年2月の研究に拠る。
- ^ Frobisher 1999, p. 41, attributed to "Jonathan"
- ^ Frobisher 1999, p. 41, attributed to "Joseph"
- ^ Frobisher 1999, p. 41, "Richard"の例
- ^ Keith 2006, pp. 35–68
- ^ Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, pp. 83–95
- ^ a b Ball, Lewis & Thames 2008, p. 27; 図 1.5 "ゼロについての数学的な主張。"
- ^ Ball, Lewis & Thames 2008, p. 16.
- ^ Levenson, Tsamir & Tirosh 2007; Dickerson & Pitman 2012
- ^ Dickerson & Pitman 2012.
- ^ Ball, Hill & Bass 2005, p. 22.
- ^ Ball, Hill & Bass 2005, pp. 14–16.
- ^ Hill et al. 2008, pp. 446–447.
- ^ Lichtenberg 1972, p. 535
- ^ Ball, Lewis & Thames 2008, p. 15. 適切な定義のさらなる議論に対するBallのキーノートも参照
- ^ Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 93)による結論として。Freudenthal (1983, p. 460)も参照。
- ^ Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 851): "これは、応答すべきボタンが右か左かということとは無関係に、ゼロが他のすべての数字とは明瞭に異なっていることもまた見て取れる。(他の数からゼロを分離している線を見よ)"
- ^ Dehaene, Bossini & Giraux (1993)のあらゆるデータ、およびNuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 837)によるサマリーを見よ。
- ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 374–376
- ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 376–377
- ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, p. 376 "ある直感的な意味で、偶奇性の概念は2より大きい数に対してのみ馴染みがある。実際に、試験の前に、ある文学専攻の対象者は0が偶数か奇数か確信が無く、数学的定義の復習をしなければならなかった。この証拠は手短に言うと、2で割り切れることの基準を使うことによりその場で計算する代りに、偶奇性の情報は他の意味的な性質の数を集めたメモリーから検索されることを示唆する...もし意味的メモリーが偶奇性の判断でアクセスされるなら、個人間の差は、数の概念に対するその対象者の親しみ具合に依存するべきだ
- ^ Nuerk, Iversen & Willmes 2004, pp. 838, 860–861
- ^ The Math Forum participants 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999; Doctor Rick 2001
- ^ Grimes 1975, p. 156 "...人は、彼の知人の結婚したカップルに次の質問を提起できる: (1) ゼロは偶数か? ... 多くのカップルは不一致になる..."
- ^ Wilden & Hammer 1987, p. 104
- ^ Snow 2001; Morgan 2001
- ^ Kaplan Staff 2004, p. 227
- ^ Graduate Management Admission Council 2005, pp. 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, p. 1
- ^ Arsham 2002; この引用は、1977年10月1日に放送されたドイツの報道番組en:heuteによる。 Arshamの証明は Crumpacker (2007, p. 165)によっても繰り返されている。
- ^ Sones & Sones 2002 "ペンシルバニア州立大学の数学者George Andrewsはオーストラリアでガソリン補給をしたときのことを思い出して...それからニューサウスウェールズ議会の誰かが、これは最後の桁が0の車はガソリンが買えないことを意味する。なぜなら'ゼロは偶数でも奇数でもないからだ、と断定した。そこで、ニューサウスウェールズ議会は、ガソリン供給の目的のためにゼロは偶数であると規定したのである!'"
- ^ 1980年のメリーランド法では以下のように規定している: "カレンダーの日付が偶数である日には、数字を含まない個人的ナンバープレート、または最後の桁が偶数であるようなナンバープレートを持つ車の運転者のみが、ガソリンを購入できる。ただし、アマチュア無線のプレートはこれに含まない。ゼロは偶数とする:(b)カレンダーの日付が奇数である日は..."メリーランド州法 1974より抜粋
- ^ Brisman 2004, p. 153
- ^ Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
- ^ Diagram Group 1983, p. 213
- ^ Baroody & Coslick 1998, p. 1.33
- ^ Devlin 1985, pp. 30–33
- ^ Penner 1999, p. 34.
- ^ a b Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 孤立点については、p. 149; 群については p. 311.
- ^ Lorentz 1994, pp. 5–6; Lovas & Pfenning 2008, p. 115; Nipkow, Paulson & Wenzel 2002, p. 127
- ^ Bunch 1982, p. 165
- ^ Wise 2002, pp. 66–67
- ^ 単連結でないような、いわゆる「島」がある図形の場合でもこの判定法は有効である。しかし、「ポリゴン」の定義に含まれないが、多角形の外側に直線を付け加えたいわば「毛が生えた」ような図形の場合、点が図形の外側にあっても、奇数回交差することはありえる。
- ^ Anderson 2001, p. 53; Hartsfield & Ringel 2003, p. 28
- ^ Dummit & Foote 1999, p. 48
- ^ Andrews 1990, p. 100
- ^ Tabachnikova & Smith 2000, p. 99; Anderson & Feil 2005, pp. 437–438
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