射影曲面

ウィキペディア

射影多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)

楕円曲線は種数 1 の滑らかな射影曲線である。

代数幾何学において、代数閉体 k 上の射影多様体（しゃえいたようたい、英: projective variety）とは、k 上の（n 次元）射影空間 Pⁿ の部分集合であって、素イデアルを生成する k 係数 n + 1 変数斉次多項式の有限族の零点集合として書けるものをいう。そのようなイデアルは多様体の定義イデアルと呼ばれる。あるいは同じことだが、代数多様体が射影的であるとは、Pⁿ のザリスキ閉部分多様体として埋め込めるときにいう。

1次元の射影多様体は射影曲線と呼ばれ、2次元だと射影曲面、余次元 1 だと射影超曲面と呼ばれる。射影超曲面は単独の斉次式の零点集合である。

射影多様体 X が斉次素イデアル I によって定義されているとき、商環

$k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$

ウィキペディア小見出し辞書

射影曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/25 05:51 UTC 版)

「曲面 (数学)」の記事における「射影曲面」の解説

三次元射影空間内の射影曲面は、ひとつの三変数斉次多項式の零点を斉次座標（英語版）に持つような点全体の成す集合である。より一般に、射影曲面とは射影空間の部分集合であって、二次元（英語版）の射影多様体となっているようなものを言う。 射影曲面はアフィン曲面（つまり通常の代数曲面）と強く関係する。射影曲面から対応するアフィン曲面を得るには、座標（あるいは不定元）の一つを 1 と置けばよい（最後の変数を 1 にすることが多い）。逆に、アフィン曲面から付随する射影曲面（もとの曲面の射影完備化と呼ばれる）を得るには、定義多項式を斉次化すればよい（高次元空間内の曲面の場合は、定義イデアルを斉次化する）。