リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/12/11 23:02 UTC 版)
|
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。
|
| 群論 → リー群 リー群 |
|---|
 |
|
数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環（リーかん）[注 1]は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆による違いを除いて一意的に存在する（リーの第三定理）。このリー群とリー代数の間の対応によってリー群をリー代数によって研究することができる。
定義
リー代数は、ある体 
リー環 (Lie ring)
数学における（狭義の）リー環[注 3]（リーかん、英: Lie ring）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列の研究においても自然に生じてくる。
リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、（環が加法に関して群になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積 
- Beltita, Daniel (2005). Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6
- Bourbaki, Nicolas (1989). Lie Groups and Lie Algebras -- Chapters 1-3. Springer. ISBN 3-540-64242-0
- Hofman, Karl; Morris, Sidney (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-032-6
- Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7
- Jacobson, Nathan (1962). Lie algebra. Dover. ISBN 978-0-486-63832-4
- Erdmann, Karin; Wildon, Mark (2006). Introduction to Lie Algebras (1st ed.). Springer. ISBN 1-84628-040-0
- Hall, Brian C. (2003). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Springer. ISBN 0-387-40122-9
- Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan (2001). “A new method for classifying complex filiform Lie algebras”. Applied Mathematics and Computation 121 (2-3): 169–175.
- Kac, Victor G.; et al.. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras math.mit.edu.
- O'Connor, J.J.; Robertson, E.F.. Biography of Sophus Lie. MacTutor History of Mathematics Archive www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
- O'Connor, J.J.; Robertson, E.F.. Biography of Wilhelm Killing. MacTutor History of Mathematics Archive www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
- Serre, Jean-Pierre (2006). Lie Algebras and Lie Groups (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-55008-9
- Steeb, W.-H. (2007). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra (2nd ed.). World Scientific. ISBN 978-981-270-809-0
- Varadarajan, V.S. (2004). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1st ed.). Springer. ISBN 0-387-90969-9
和書：
- 松島与三：「リー環論」、共立出版（1956年12月).
- ブルバキ(著)、杉浦光夫(編・訳)：「リー群とリー環」全3巻、東京図書、ISBN(4-48900211-4、4-48900212-2、4-48900213-0),(1968年12月～1973年5月).
- 佐武一郎：「リー環の話」、日本評論社、ISBN 4-535-78157-5 (1987年6月10日).
- シャファレヴィッチ 著、蟹江幸博 訳『代数学とは何か』シュプリンガー・フェアラーク東京。
- 東郷重明：「無限次元リー代数」、槇書店、ISBN 4-83750585-6 (1990年3月).
- 佐藤肇：「リー代数入門 : 線形代数の続編として」、裳華房、ISBN 978-4-78531523-8 (2000年10月).
- 谷崎俊之：「リー代数と量子群」、共立出版、ISBN 4-320-01692-0 (2002年4月).
- 脇本実：「無限次元リー環」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006048-6 (2007年7月).
- 窪田高弘：「物理のためのリー群とリー代数」、サイエンス社(SGCライブラリ66）、(2008年9月).
- 竹内外史：「復刊 リー代数と素粒子論」、裳華房、ISBN 978-4-78531038-7（2010年9月）.
- H. ジョージァイ(著)、九後汰一郎(訳)：「物理学におけるリー代数：アイソスピンから統一理論へ」、吉岡書店、ISBN 978-4-84270357-2 (2010年10月).
- 井ノ口順一:「はじめて学ぶリー環：線型代数から始めよう」、現代数学社、ISBN 978-4-76870471-4 (2018年2月).
- 山下博：「表現論入門セミナー[新装版]第II巻：リー代数と表現論」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78969-2 (2022年9月).
外部リンク
- “Lie algebra”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/11 06:55 UTC 版)
特に、M の微分同相写像群のリー代数は M 上のすべてのベクトル場からなり、ベクトル場のリーブラケット（英語版）を備えている。幾分形式的に、これは空間の各点における座標 x に小さい変化を加えることによってわかる： x μ → x μ + ε h μ ( x ) {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)} L h = h μ ( x ) ∂ ∂ x μ . {\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}.}
※この「リー代数」の解説は、「微分同相写像」の解説の一部です。
「リー代数」を含む「微分同相写像」の記事については、「微分同相写像」の概要を参照ください。
- リー代数のページへのリンク
