vDVZ不連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/19 08:00 UTC 版)
「フィールツ・パウリ理論」の記事における「vDVZ不連続性」の解説
一般相対論において、計量テンソル g μ ν ( x ) {\displaystyle g_{\mu \nu }(x)} はアインシュタイン・ヒルベルト作用 S E H = 1 2 ∫ R − g d 4 x {\displaystyle S_{\mathrm {EH} }={\frac {1}{2}}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x} から導かれるアインシュタイン方程式に従う。時空が平坦に近いと仮定し、計量テンソルをミンコフスキ計量 η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} からの摂動 h μ ν ( x ) := g μ ν ( x ) − η μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }(x):=g_{\mu \nu }(x)-\eta _{\mu \nu }} という形に表示するとき、Einstein-Hilbert作用を摂動場 h μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }} について展開し2次の項までを残すと、部分積分によりFierz-Pauli理論の作用から質量項を除いたものに帰着する。それ故に、Fierz-Pauli理論のゼロ質量極限は一般相対論の弱場近似に帰着すると期待される。 しかしながら、Fierz-Pauli場がゼロ質量であるかどうかにより理論の性質が不連続に変化することがYoichi Iwasaki, およびHendrik van Dam & en:Martinus J. G. VeltmanそしてValentin I. Zakharov によって1970年に指摘された。つまり、質量0の Fierz-Pauli 理論と質量正の Fierz-Pauli 理論には定性的な差異があり、後者のゼロ質量の極限として前者が得られる訳ではない。この性質は vDVZ 不連続性として知られる。 具体的に、Fierz-Pauli場と物質場の有効相互作用 S e f f = κ ~ 2 ∫ d 4 x h μ ν ( x ) T μ ν {\displaystyle S_{\mathrm {eff} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int d^{4}x\,h_{\mu \nu }(x)T^{\mu \nu }} について考える。前小節のグリーン関数解を代入して整理することで、伝搬関数 Δ μ ν ρ σ {\displaystyle \Delta _{\mu \nu \rho \sigma }} を用いた表式 S e f f = κ ~ 2 ∫ d 4 x d 4 x ′ T μ ν ( x ) Δ μ ν ρ σ ( x − x ′ ) T ρ σ ( x ′ ) {\displaystyle S_{\mathrm {eff} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T^{\mu \nu }(x)\Delta _{\mu \nu \rho \sigma }(x-x')T^{\rho \sigma }(x')} が得られるが、運動量空間で書き直すと S e f f = κ ~ 2 ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 T μ ν ( − k ) D μ ν ρ σ ( k ) T ρ σ ( k ) {\displaystyle S_{\mathrm {eff} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\,T^{\mu \nu }(-k)D_{\mu \nu \rho \sigma }(k)T^{\rho \sigma }(k)} D μ ν ρ σ ( k ) = [ 1 2 ( η μ ρ η ν σ + η μ σ η ν ρ ) − 1 3 η μ ν η ρ σ ] ( − i k 2 + m g 2 − i ϵ ) {\displaystyle D_{\mu \nu \rho \sigma }(k)=\left[{\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \rho }\eta _{\nu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }\eta _{\nu \rho }\right)-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\rho \sigma }\right]\left({\frac {-i}{k^{2}+m_{g}^{2}-i\epsilon }}\right)} となる。これは極限 m g → 0 {\displaystyle m_{g}\to 0} のもとで、ゼロ質量の場合の伝搬関数 D μ ν ρ σ ( 0 ) ( k ) = 1 2 ( η μ ρ η ν σ + η μ σ η ν ρ − η μ ν η ρ σ ) ( − i k 2 − i ϵ ) {\displaystyle D_{\mu \nu \rho \sigma }^{(0)}(k)={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \rho }\eta _{\nu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }\eta _{\nu \rho }-\eta _{\mu \nu }\eta _{\rho \sigma }\right)\left({\frac {-i}{k^{2}-i\epsilon }}\right)} を再現しない。 この結果、例えばFierz-Pauli理論に基づく太陽による光の曲がり角の予測は Δ θ = 3 G M ⊙ R ⊙ {\displaystyle \Delta \theta ={\frac {3GM_{\odot }}{R_{\odot }}}} ( G {\displaystyle G} は重力定数、 M ⊙ {\displaystyle M_{\odot }} は太陽の質量、 R ⊙ {\displaystyle R_{\odot }} は太陽の半径) であり、一般相対論に基づく曲がり角 Δ θ = 4 G M ⊙ R ⊙ {\displaystyle \Delta \theta ={\frac {4GM_{\odot }}{R_{\odot }}}} とは食い違う。
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