プラクティカル数とは？わかりやすく解説

数論において、プラクティカル数 (practical number; 実際数^[1]) もしくはパナリズミック数 (panarithmic number^[2]; 汎数的数) とは約数の和でその数より小さな正の整数すべてが表せる自然数である。例えば、12は約数1,2,3,4,6を持ち、1から11までの整数は、1,2,3,4,6の和として表せるため、12はプラクティカル数である。（5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, 11 = 6 + 3 + 2）

プラクティカル数の数列はオンライン整数列大辞典の数列 A005153に記載されており、

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

と続く。

1202年、フィボナッチは算盤の書で、エジプト式分数として有理数を表す問題にプラクティカル数を用いた。フィボナッチはプラクティカル数を正確に定義したわけではないが、フィボナッチはプラクティカル数を分母とする分数のエジプト式分数表現の表を与えた^[3]。

プラクティカル数という名前はSrinivasan (1948)に由来する。スリニヴァサンは「金・重さ・長さの単位は4, 12, 16, 20, 28のような数で細分化されており、10の累乗での細分化に置き換えるべき不便さである。」と述べた。スリニヴァサンはそのような数の数論的な性質を再発見し、Stewart (1954)とSierpiński (1955)によってこのような数の分類が完了した。この特徴付けにより、素因数分解によって与えられた数がプラクティカル数であるかを判別できるようになった。偶数の完全数と2のべき乗は、すべてプラクティカル数である。

プラクティカル数は素数と様々な性質で関連付けられている^[4]。

プラクティカル数の特徴

プラクティカル数の最初の特徴付けは、Srinivasan (1948)によって行われたもので、プラクティカル数は不足が2以上である不足数にはなりえないというものである。不足数とは(自身を除く)約数の和がそれ自身より小さい数であり、ここでは約数の和がそれ自身より2以上小さい数のみを指す。もし n の(1と自身を含む)約数の順序集合を ${d_{1},d_{2},...,d_{j}}$