G(k) の値の上界
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:52 UTC 版)
「ウェアリングの問題」の記事における「G(k) の値の上界」の解説
G(3) は少なくとも 4 である（立方数は 0, 1, −1 (mod 9) であるため)。1.3×109 未満の数に対し 1290740 は 6 個の立方数が必要な最大の整数であるほか、G(3)=4 であると認めるのに十分な速度で N を増加させると、5 個の立方数が必要な N と 2N の間の数の個数を減らすことができる。4 個の立方数の和で表すことのできない既知の最大の数は 7373170279850 であり、著者らはこれが最大の数とする妥当な議論を与えている。G(3) の上界 G(3) ≤ 7 はユーリ・リンニク(Yuri Vladimirovich Linnik)による。 13792 は 17 個の 4 乗数が必要な最大の数である。16 個の 4 乗数の和は常に 31·16n の形の数である必要がある。 617597724 は 10 個の 5 乗数が必要な 1.3×109 未満の最大の数であり、51033617 は 11 個必要な 1.3×109 未満の最大の数である。 表の k=5,...,20 の上界はボブ・ヴォーン（英語版）(R. C. Vaughan)とトレヴォール・ウーレイ（英語版）(Trevor Wooley)による。 イワン・ヴィノグラードフ（英語版）(Ivan Matveyevich Vinogradov)は、改善したハーディ・リトルウッドの円周法（英語版）(Hardy-Littlewood method)を使い、多くの精密化を行った。1947年に次の評価式を導出した。 G ( k ) ≤ k ( 3 log k + 11 ) {\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)} また、1959年には特定はできないある定数 C と十分に大きな k に対し、次の評価式が成り立つことを示した。 G ( k ) ≤ k ( 2 log k + 2 log log k + C log log log k ) {\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)} アナトリー・カラツバ（英語版）(Anatolii Alexeevitch Karatsuba)は、ハーディ・リトルウッド・ヴィノグラードフの方法をp-進の形で三角和の評価へ適用し、和が小さな因子を持つ数を渡って取られるようにすることで、1985年にハーディ函数 G ( k ) {\displaystyle G(k)} （ k ≥ 400 {\displaystyle k\geq 400} に対して）の新しい評価式を得た。 G ( k ) < 2 k log k + 2 k log log k + 12 k {\displaystyle \!G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k} 1989年にはヴォーンによりさらなる精密化がなされた。 また、ウーレイはある定数 C に対して、次の評価式が成り立つことを示した。 G ( k ) ≤ k log k + k log log k + C k {\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck} ヴォーンとウーレイは、包括的なサーベイ論文を書いた。
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