BCC modelとは? わかりやすく解説

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BCCモデル

読み方びーしーしーもでる
【英】:BCC (Banker, Charnes and Cooper) model

概要

DEA (包絡分析法) のモデルとしてバンカー・チャーンズ・クーパーにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである. 生産可能集合現存するDMU凸包それより大き入力小さ出力をもつ点から構成される. このモデルCCRモデル異なり, 効率的フロンティア通常原点通らず, 規模の収穫可変型である.

詳説

 DEA(包絡分析法)のモデルとしてBanker, Charnes andCooperにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである[1].

 BCC_P\, -I モデル


\mbox{min.}\, \theta_{J}\,
\mbox{s. t.}\, \theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \; (i=1, 2,\ldots ,m),\,
y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \; (r=1, 2, \ldots ,s),\,
\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1,\; \; \; 
 \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots ,n),\,


で表わされる. CCR_P\, -Iモデル比べる制約 \textstyle \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1\, 追加されモデルになっている. これにより生産可能集合は, DMU集合凸包基本とし, その凸包の点より大なる入力と小なる出力を持つ点から構成されることになる.

 また, BCC比率形式モデルは以下のようになる.

[BCC比率形式モデル入力指向]


\mbox{max.}\, D_{J}=(\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}+u_{0})/\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{iJ}\,
\mbox{s. t.}\, (\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}+u_{0})/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}\leq 1 \;(j=1, 2, \ldots ,n),\,
u_r \geq 0 \; (r=1, 2,\ldots , s), \;\;
 v_i \geq 0 \; (i=1, 2,\ldots , m).


 CCRモデルでは上式の分子定数項u_{0}\, がないため分母分子定数倍して効率変わらない. すなわち, CCRモデルではすべての入力, 出力k\, 倍して効率変わらないので規模の収穫一定であるといわれる. これに対し, BCCモデルでは小規模段階では規模の収穫増加し, 規模増加に連れて規模の収穫一定レベル到達する. それよりも規模大きくなる規模の収穫減少する.

 BCCモデルはCCRモデルよりも制約が多いため生産可能集合狭められ効率\theta_J\, (BCC)はCCRモデル効率\theta_J\, (CCR)以上になる. そこで\theta_J\, (CCR)を全体効率性, \theta_J\, (BCC)を技術効率性考え, その差分規模の効率性よるもの考え, 規模の効率性全体効率性\theta_J\, (CCR技術効率性\theta_J\, (BCC)とする. すなわち, 全体効率性(CCR)=技術効率性(BCC規模の効率性考える.

 BCC_P\, -Iモデル入力指向型モデルであるが, 出力指向型モデル同様に考えられる. これらに対して入力指向出力指向区別せずに, スラック着目したモデルとしてDEA加法モデルがある. 基本的加法モデル次のLPによって示される.


\mbox{max.}\, (\sum_{i=1}^{m} s_{xi}+\sum_{r=1}^{s} s_{yr})\,
\mbox{s. t.}\, \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij}+s_{xi}=x_{iJ} \; (i=1, 2, \ldots , m),\,
\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{ij}-s_{yr}=y_{rJ}\; (r=1, 2, \ldots , s),\,
\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}=1, \;\;
 \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots , n),\,
s_{xi} \geq 0 \; (i=1, 2, \ldots , m), \;\;
 s_{yr} \geq 0 \; (r=1, 2, \ldots , s).\,


 Cobb-Douglas型の生産関数


y=\mbox{e}^{c_{0}}x_{1}^{c_{1}}\cdots x_{m}^{c_{m}}\,

 または

\log y=c_{0}+ c_{1}\log x_{1}+\cdots + c_{m}\log x_{m}\,


対応するDEAモデルとして, 原データ対数をとった

\hat{X}=(\log x_{ij} )\in \mathbf{ R}^{m\times n}\,
\hat{Y}=(\log y_{ij} )\in \mathbf{ R}^{s\times n}\,


入出力データとした加法モデルは原データ戻したときに積で表現できることからDEA乗法モデル呼ばれる.



参考文献

[1] R. D. Banker, A. Charnes and W. W. Cooper, "Some Models for Estimating Technical and Scale Inefficiencies in Data Envelopment Analysis," Management Science, 30 (1984), 1078-1092.

「OR事典」の他の用語
DEA(包絡分析法):  BCCモデル  CCRモデル  CFA  DEA  DEA乗法モデル  DEA加法モデル  DMU

「BCC model」の例文・使い方・用例・文例

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