2008年以降の発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/02/03 07:15 UTC 版)
2009年から解析の概念が使われるようになり、よく知られた問題を解くのに一役を担った。 ある集合Yが正密度点であるとは、すべてのYを含む実効的閉集合がYで正の下側ルベール密度を持つことを言う。Bienvenu, Hölzl, Miller, and Niesは、マルティンレーフランダムな点に対して、チューリング完全ではないことと正密度点であることの同値性を示した。Day and Miller (2012) らは、これを使って、ML-cupping問題に対して肯定的な解を与えた。:すなわち、AがK自明集合であることと、が停止問題を計算するようなすべてのマルティンレーフランダムな点Zに対してZが停止問題を計算する、ということは同値。 Yが一密度点であるとは、すべてのYを含む実効的閉集合がYでルベーグ密度1を持つことを言う。一密度点でないようなどのマルティンレーフランダムな集合でも、すべてのK自明集合を計算する。Bienvenu et al. Day and Miller (2012)は正密度点ではあるが一密度点ではないマルティンレーフランダムな集合が存在することを示した。 なので、非完全なマルティンレーフランダムな集合ですべてのK自明集合を計算するものが存在する。 これはMiller and Nies. に載っているStephanによって最初に問われた問題、covering問題に対して肯定的な答えを与える。この分野の概要は、L. Bienvenu, A. Day, N. Greenberg, A. Kucera, J. Miller, A. Nies, and D. Turetsky などが参考になるであろう。K自明集合の変種も研究されている。例えば、Schnorr trivial setsは計算可能な測度を持つ機械によって定義される。strongly jump traceable setsはK自明集合族の真部分集合で低の性質を持つものである。
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