1/4コンマ中全音律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 07:07 UTC 版)
1/4コンマ中全音律(en:Quarter-comma meantone)は、ピタゴラス音律の純正な完全五度を1/4シントニックコンマ狭くすることで、純正な長三度を得るものである。 1つの長三度と2つのオクターヴをあわせた長十七度の音程 (e.g. D4-D5-D6-F6♯) は、4つの完全五度の積み重ね (e.g. D4-A4-E5-B5-F6♯) としても表現できる。 長十七度を純正な長三度 (5/4) と2つのオクターヴ (2/1) を用いて表すと 2 ⋅ 2 1 ⋅ 5 4 = 5 {\displaystyle 2\cdot {2 \over 1}\cdot {5 \over 4}=5} 一方、純正な完全五度 (3/2) を4つ積み重ねたものとして表すと ( 3 2 ) 4 = 81 16 = 80 16 ⋅ 81 80 = 5 ⋅ 81 80 {\displaystyle \left({3 \over 2}\right)^{4}={81 \over 16}={80 \over 16}\cdot {81 \over 80}=5\cdot {81 \over 80}} これはピタゴラス音律の長三度が純正音程よりも81/80だけ広いことを意味している。この差をシントニックコンマと呼び、約21.506 セントである。 1200 log 2 81 80 cents ≈ 21.506 cents {\displaystyle 1200\log _{2}{81 \over 80}\ {\hbox{cents}}\approx 21.506\ {\hbox{cents}}} ピタゴラス音律の完全五度を純正音程から1/4シントニックコンマ狭めることで、4つの完全五度の積み重ねが純正な長十七度 (5/1) と一致し、純正な長三度が得られる。 xを狭められた完全五度とすると、4つの完全五度の積み重ねが5/1になるので x 4 = 5 {\displaystyle x^{4}=5\ } したがって完全五度は x = 5 4 = 5 1 / 4 ≈ 1.495349 {\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}\approx 1.495349} この1/4コンマ中全音律の完全五度は約696.578 セントである 1200 log 2 5 1 / 4 cents ≈ 696.578 cents {\displaystyle 1200\log _{2}5^{1/4}\ {\hbox{cents}}\approx 696.578\ {\hbox{cents}}} これは純正な完全五度よりも少しだけ狭い。 3 / 2 = 1.5 = 1200 log 2 3 2 cents ≈ 701.955 cents {\displaystyle 3/2=1.5=1200\log _{2}{3 \over 2}\ {\hbox{cents}}\approx 701.955\ {\hbox{cents}}} 両者の差は1/4 シントニックコンマである。 ≈ 701.955 − 696.578 ≈ 5.377 ≈ ( 1 4 ⋅ 21.506 ) cents {\displaystyle \approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx \left({\frac {1}{4}}\cdot 21.506\right)\ {\hbox{cents}}} 半音階の12の音は、ある音を起点に完全五度ずつ上昇、下降を繰り返すことによって得られる。これは完全五度の大きさが少し異なること以外はピタゴラス音律と同様である。 ピタゴラス音律と同様に、この方法で得られるA♭とG♯は一致しない (約41.059 セントの差が生じる)。したがって、半音階を構成するために、A♭を省いてE♭からG♯までの12 音を用いた場合、G♯からE♭への音程は、他の調整された完全五度とは逆に、純正な完全五度よりも大分広い約737.637 セントとなる。この広い五度による和音は、顕著なうなりを生じるため、狼の吠声に例えてウルフの五度(en:Wolf interval)と呼ばれる。この音程は一般には実用に耐えないため、使用できる調は限定されたものとなる。1/4コンマ中全音律では一般的に調号が♯が3つあるいは♭が2つより多い調は演奏不可能とされる。 以下の表にD音を起点とした1/4コンマ中全音律の半音階の各音の、Dからの音程の大きさを周波数比とセント値で記す。計算式の x = 5 4 = 5 1 / 4 {\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}} は調整され狭められた完全五度である。 音名Dからの音程計算式比率大きさ(セント)A♭ 減五度 x − 6 / 2 − 4 = 16 5 25 {\displaystyle x^{-6}/2^{-4}={\frac {16{\sqrt {5}}}{25}}} 1.43108351 620.529 E♭ 短二度 x − 5 / 2 − 3 = 8 5 x 25 {\displaystyle x^{-5}/2^{-3}={\frac {8{\sqrt {5}}x}{25}}} 1.06998449 117.108 B♭ 短六度 x − 4 / 2 − 3 = 8 5 {\displaystyle x^{-4}/2^{-3}={\frac {8}{5}}} 1.60000000 813.686 F 短三度 x − 3 / 2 − 2 = 4 x 5 {\displaystyle x^{-3}/2^{-2}={\frac {4x}{5}}} 1.19627902 310.265 C 短七度 x − 2 / 2 − 2 = 4 5 5 {\displaystyle x^{-2}/2^{-2}={\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}} 1.78885438 1006.843 G 完全四度 x − 1 / 2 − 1 = 2 5 x 5 {\displaystyle x^{-1}/2^{-1}={\frac {2{\sqrt {5}}x}{5}}} 1.33748061 503.422 D 一度 x 0 / 2 0 = 1 {\displaystyle x^{0}/2^{0}=1} 1.00000000 0.0 A 完全五度 x 1 / 2 0 = x {\displaystyle x^{1}/2^{0}=x} 1.49534878 696.578 E 長二度 x 2 / 2 1 = 5 2 {\displaystyle x^{2}/2^{1}={\frac {\sqrt {5}}{2}}} 1.11803399 193.157 B 長六度 x 3 / 2 1 = 5 x 2 {\displaystyle x^{3}/2^{1}={\frac {{\sqrt {5}}x}{2}}} 1.67185076 889.735 F♯ 長三度 x 4 / 2 2 = 5 4 {\displaystyle x^{4}/2^{2}={\frac {5}{4}}} 1.25000000 386.314 C♯ 長七度 x 5 / 2 2 = 5 x 4 {\displaystyle x^{5}/2^{2}={\frac {5x}{4}}} 1.86918598 1082.892 G♯ 増四度 x 6 / 2 3 = 5 5 8 {\displaystyle x^{6}/2^{3}={\frac {5{\sqrt {5}}}{8}}} 1.39754249 579.471
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