領域の基底

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領域の基底

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 07:55 UTC 版)

「領域理論」の記事における「領域の基底」の解説

前節の考察は別の疑問を提起する。 領域のすべての要素がはるかに単純な要素の極限として得られることを保証することは可能だろうか？ これは現実の問題に大いに関係がある。 我々は無限の対象を計算できないが、それでもこれによってそれをいくらでも近似する望みがあることになる。 より一般的には、上限として他のすべての要素を得るのに十分であるような部分集合に制限したい。 よって、半順序集合 P の基底 (base) B を、任意の P 中の x に対して、x よりも way below であるような B 中の要素の集合の上限が x となるような P の部分集合として定義する。 半順序集合 P は、基底をもつとき連続半順序集合である。 特にこのとき P 自体は基底である。 多くの応用分野では、主要な研究の対象を連続 (d)cpo に制限している。 最後に、半順序集合に対するいくらか強い制限は「コンパクト」な要素の基底の存在を要求することにより与えられる。 このような半順序集合は代数的であるといわれる。 代数的半順序集合は、それが有限のものに制限されていても、すべての要素の近似を可能にするため、表示的意味論の観点からはとりわけ行儀よくふるまう。 前に注意したように、すべての有限の要素は古典的な意味で「有限」であるとは限らず、有限の要素が非可算な集合を構成することもありうる。 しかしある場合には、半順序集合に対する基底は可算である。 この場合、ω 連続半順序集合と言う。 従って、もし可算の基底がすべて有限の要素からなるなら、ω 代数的な順序が得られる。