非可積分函数に対してフビニの定理が成立しないこと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:57 UTC 版)
「フビニの定理」の記事における「非可積分函数に対してフビニの定理が成立しないこと」の解説
フビニの定理によれば、（σ-有限測度空間の積上の可測函数に対して）絶対値の積分が有限であるなら、積分の順序は問題にならない。すなわち、はじめに x について積分し、続いて y について積分すれば、はじめに y、続いて x について積分したものと同じ結果が得られる。絶対値の積分は有限であるという仮定は、ルベーグ可積分性であり、この仮定が無いと二つの逐次積分は異なる値を取り得る。 逐次積分が一般に異なる値を取る簡単な例として、二つの測度空間を正の整数として定め、函数 f(x,y) は x=y なら 1、x=y+1 なら -1、それ以外なら 0 となるものが挙げられる。このとき二つの逐次積分はそれぞれ 0 と 1 という異なる値を取る。 他の例として、次の函数が考えられる。 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 = − ∂ 2 ∂ x ∂ y arctan ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\arctan(y/x).} このとき逐次積分は ∫ x = 0 1 ( ∫ y = 0 1 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d y ) d x = π 4 {\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}} および ∫ y = 0 1 ( ∫ x = 0 1 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x ) d y = − π 4 {\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}} となり、異なる値となる。対応する二重積分は絶対収束（言い換えると、絶対値を取った積分は有限でない）しない。すなわち、 ∫ 0 1 ∫ 0 1 | x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 | d y d x = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty } となる。
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