開かつ閉集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/18 17:33 UTC 版)
数学、特に位相幾何学や位相空間論において、ある位相空間の開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう、英: closed-open set）とは、その位相空間の開集合であり閉集合でもあるような集合である。普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X−A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
- ^ Bartle & Sherbert 1992, p. 348 (regarding the real numbers and the empty set in R)
- ^ Hocking & Young 1961, p. 56 (regarding topological spaces)
- ^ 松坂 1968, p. 200, 第5章§1(E)定理6.
- ^ 松坂 1968, p. 195, 第5章§1(A)連結位相空間.
- ^ Mendelson 1990, p. 87 “Let A be a subset of a topological space. Prove that Bdry (A) = Ø if and only if A is open and closed.” (Given as Exercise 7)
- ^ 松坂 1968, p. 207, 第5章 問題6.
- ^ Willard 2004, p. 210, 29: Totally disconnected spaces.
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