閉集合の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:49 UTC 版)
実数からなる閉区間 [a, b] は閉である。 単位区間 [0, 1] は実数全体の成す距離空間 ℝ において閉であり、同様に 0 以上 1 以下の有理数全体の成す集合 [0, 1] ∩ ℚ は有理数の空間 ℚ において閉であるが、[0, 1] ∩ ℚ は ℝ における閉集合ではない。 開でも閉でもない集合もある。実例として半開区間 [0, 1) は ℝ において開でも閉でもない。 開でも閉でもある集合もあり、開かつ閉集合 (clopen set) と呼ばれる。 半直線 [1, +∞) は ℝ の閉集合である。 カントール集合は、それが全て境界点からなり至る所疎 (nowhere dense) であるという意味で、普通の閉集合ではない。 T1 空間において一点集合は閉集合である。（したがって有限集合も閉集合。）一般に、一点集合 {x} が閉集合であるような位相空間の点 x は閉点 (closed point) と呼ばれる。 整数全体の集合 ℤ は無限かつ非有界な ℝ の閉集合である。 位相空間 X, Y の間の写像 f: X → Y が連続となるためには、Y における任意の閉集合の逆像が X において閉であることが必要十分である。
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