閉集合の性質とは? わかりやすく解説

閉集合の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/07 03:49 UTC 版)

閉集合」の記事における「閉集合の性質」の解説

閉集合自身境界を全く含む。これは、閉集合の「外部」から任意の方向小さく動いてもまだ集合外側にいるということ意味している。このことは境界空集合であるときにも満足されることに注意する例えば、有理数全体通常のユークリッド距離に関してなす距離空間で、平方が 2 よりも小さい数全体の成す部分集合考えればよい。 閉集合任意の交わりは(無限個の交わりでも)閉集合である。 閉集合有限個の合併閉集合である。 空集合閉集合である。 全体集合閉集合である。 実は、集合 X と X の部分集合族 ℱ でこれらの性質満足するものが与えられたとき、ℱ を閉集合系とする X 上の位相一意定まる閉集合上記交叉性質を持つことは、空間 X における部分集合 A の閉包(A を含む X の閉集合の中で最小のもの)を定義するのに利用できる具体的には、A の閉包は、A を含む閉集合すべての交わりとして構成することができる。 閉集合からなる可算集合族の合併として構成することができる集合は、Fσ-集合であると言うFσ-集合は必ずしも閉でない。

※この「閉集合の性質」の解説は、「閉集合」の解説の一部です。
「閉集合の性質」を含む「閉集合」の記事については、「閉集合」の概要を参照ください。

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