閉集合を使った特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
開集合のX における補集合の事を閉集合と呼び、閉集合全体の集合 F = { F ⊂ X ∣ F c ∈ O } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F^{c}\in {\mathcal {O}}\}} の事を位相空間X の閉集合系と呼ぶ。 開集合が直観的には「縁を含まない」、「開いた」集合だったのに対し、閉集合は直観的には「縁を含んだ」、「閉じた」集合である。本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、開集合の補集合として閉集合を定義したが、閉集合系 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を使って下記のように位相空間を定義する事もできる。この場合、開集合は閉集合の補集合として定義する。 定義 (閉集合系による位相空間の定義) ― Xを集合とし、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} をXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の部分集合とする。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が以下の性質を満たすとき、組 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} を X を台集合とし F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を閉集合系とする位相空間と呼び、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元を X の閉集合と呼ぶ。 ∅ , X ∈ F {\displaystyle \emptyset ,X\in {\mathcal {F}}} ∀ F 1 , F 2 ∈ F : F 1 ∪ F 2 ∈ F {\displaystyle \forall F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F}}~~:~~F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}} ∀ { F λ } λ ∈ Λ ⊂ F : ⋂ λ ∈ Λ F λ ∈ F {\displaystyle \forall \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {F}}~~:~~\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}} 閉集合系による位相空間の定義における3つの条件は、開集合系による位相空間の定義における3つの条件にド・モルガンの法則を適用することにより得られる。 なお、X の開集合でも閉集合でもあるような部分集合は X の開かつ閉集合と呼ばれる（定義から明らかに ∅ {\displaystyle \emptyset } および X は必ず開かつ閉である）。X には、開でも閉でもないような部分集合が存在しうる。
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