量子的なガウス波束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 16:57 UTC 版)
自由粒子の固有状態である平面波から作られるガウス波束を考える。3次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式は、 i ℏ ∂ φ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 φ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\varphi } この解の分散関係は次のように表され、この場合は分散があることがわかる。 ω = ℏ | k | 2 2 m {\displaystyle \omega ={\frac {\hbar |\mathbf {k} |^{2}}{2m}}} 簡単のために1次元で考える。H0 = −ħ2/2md/dx の固有値問題を解くと、固有状態である平面波 φk(x) = eikx と固有エネルギー Ek = ħ2k2/2m が得られる。この平面波を係数 α(k) = 4√a2/π exp[−a2(k′ − k)2/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束が得られる。 ψ ( x , 0 ) = 1 a 2 π 4 exp [ − x 2 2 a + i k x ] {\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}\pi }}}\exp \left[-{\frac {x^{2}}{2a}}+ikx\right]} 時刻 t = 0 で自由粒子の状態が φk(x, 0) = eikx であった場合、その後の時間変化は時間依存シュレーディンガー方程式を解くことで φk(x, t) = ei(kx − ωkt) と求まる。ただし ω k ≡ E k ℏ = ℏ k 2 2 m {\displaystyle \omega _{k}\equiv {\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}} である。このように量子論では一般的に分散がある。この時間変化する平面波を係数 α(k) = 4√a2/π exp[−a2(k′ − k)2/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束の時間変化が求まる。 ψ ( x , t ) = 1 a 2 π 4 1 1 + i ( ℏ t / m a 2 ) exp [ − x 2 + 2 i a 2 k x − i ( a 2 ℏ k 2 / m ) t 2 a 2 [ 1 + i ( ℏ t / m a 2 ) ] ] {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {1+i(\hbar t/ma^{2})}}}\exp \left[{\frac {-x^{2}+2ia^{2}kx-i(a^{2}\hbar k^{2}/m)t}{2a^{2}[1+i(\hbar t/ma^{2})]}}\right]} これを二乗したものである確率密度は、次のようにガウス波束であることがわかる。 | ψ ( x , t ) | 2 = 1 a π 1 1 + ( ℏ t / m a 2 ) 2 exp [ − [ x − ( ℏ k / m ) t ] 2 a 2 [ 1 + ( ℏ t / m a 2 ) 2 ] ] {\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt {1+(\hbar t/ma^{2})^{2}}}}\exp \left[-{\frac {[x-(\hbar k/m)t]^{2}}{a^{2}[1+(\hbar t/ma^{2})^{2}]}}\right]} このガウス関数は x = ħk/mt で極大となるため、群速度 v = ħk/m で移動する波束であることがわかる。 また時刻 t = t でのガウス波束の幅は a′ = a √1 + (ħt/ma2)2 であるため、時間とともに波束の幅は広がっていき、最終的には空間中に広がることがわかる。たとえば、電子の波束が最初はオングストロームの領域、すなわち 10−10 m に局在していた場合、波束の幅はおよそ 10−16 s で倍になる。明らかに、粒子の波束は自由空間を非常に早く広がっていく。たとえば 1 ms 後では、幅は 1 km 程度に増加する。
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