量子的な調和振動子の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/09 09:08 UTC 版)
「生成消滅演算子」の記事における「量子的な調和振動子の例」の解説
時間に依存しない量子的な1次元調和振動子のシュレディンガー方程式から出発する。 ( p ^ 2 2 m + m ω 2 2 q ^ 2 ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}{\hat {q}}^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x)} ここで、消滅演算子 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} を以下で定義し、そのエルミート共役 a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} を生成演算子と呼ぶことにする。 a ^ ≡ m ω 2 ℏ q ^ + i 2 m ℏ ω p ^ {\displaystyle {\hat {a}}\equiv {\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {q}}+{\frac {i}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}{\hat {p}}} a ^ † = m ω 2 ℏ q ^ − i 2 m ℏ ω p ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {q}}-{\frac {i}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}{\hat {p}}} 生成消滅演算子を用いると、調和振動子のシュレディンガー方程式は以下のような簡単な形に書き換えられる。 ℏ ω 2 ( a ^ † a ^ + a ^ a ^ † ) ψ ( q ) = E ψ ( q ) {\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger })\psi (q)=E\psi (q)}
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