簡約群の分類とは? わかりやすく解説

簡約群の分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)

線型代数群」の記事における「簡約群の分類」の解説

詳細は「簡約群」を参照 簡約群実際問題として現れる古典群英語版)——GLn, SLn, 直交群 SOn, 斜交群 Sp2n——などの重要な線型代数群多く含んでいる。一方で簡約群の定義は極めて消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレー代数的閉体上の簡約群の完全な分類与えた:それらはルート・データ(英語版)によって決定される。特に、代数的閉体 k 上の単純群は(有限中心的部分群スキームによる商を除いて)そのディンキン図形によって分類される特筆すべきことに、この分類は k の標数依存しない例えば、例外型リー群 G2, F4, E6, E7, E8 はどんな標数でも(さらに Z 上の群スキームとしてさえも)定義することができる。有限単純群の分類多く有限単純群有限体 k 上の単純代数群かその亜種k 有理点のなす群として生じると述べている。 体上の簡約群トーラスとある単純群との直積有限中心的部分群スキームによる商である。例えG L n ≅ ( G m × S L n ) / μ n {\displaystyle \mathbf {GL} _{n}\cong (\mathbf {G} _{m}\times \mathbf {SL} _{n})/{\boldsymbol {\mu }}_{n}} である。 任意の体 k に関して簡約群 G は k 上の極大分裂トーラス(つまり、G に含まれる分裂トーラスであって、k の代数的閉包上で極大である)を含むならば分裂 split するという。例えば、GLn はどんな体 k 上で分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する例えば、体 k 上の任意の非退化二次形式 q は簡約群 SO(q) を定め、k 上の任意の中心的単純多元環 A は簡約群 SL1(A)定める。その結果、k 上の簡約群の分類問題本質的に k 上の二次形式や k 上の中心的単純多元環分類問題含んでいる。これらの問題は k が代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの上で理解されているが、任意の上で多く未解決問題がある。

※この「簡約群の分類」の解説は、「線型代数群」の解説の一部です。
「簡約群の分類」を含む「線型代数群」の記事については、「線型代数群」の概要を参照ください。

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