磁化電流の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
時間的に定常な磁化が作り出す磁気ベクトルポテンシャルを、別の側面から考察してみることにしよう。ここでは、「磁束密度の原因は、電流に帰される」という思想に従い、だとすれば、「磁化と等価な効果を発揮する電流」がどのようなものかを検討することにする。 前記 A M ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )} に、ベクトル解析の公式を適用すると、 A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( ( M ( s ) ) × ( r − s ) | r − s | ) d 3 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( rot s [ M ( s ) ] | r − s | ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) × n ∂ Ω | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | (2-4-1) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {(\mathbf {M} (\mathbf {s} ))\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} \\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} (\mathbf {s} )]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} +{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\qquad {\text{(2-4-1)}}\end{aligned}}} となることが判る。ここで、 rot s {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {s} }} は、変数 s {\displaystyle \mathbf {s} } についての回転微分を意味する。 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } の境界を意味する。上式の右辺第二項の積分において、「 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の面素の絶対値」を意味し所謂普通の面積分ではない（この「面積分」は、「ベクトル場からベクトルを作る」特殊なもの）ので注意が必要である。この積分において、 n ∂ Ω {\displaystyle \mathbf {n} _{\partial \Omega }} は、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の法線ベクトルを意味する。 実際、スカラー倍の回転微分の公式より、 rot s [ M ( s ) | r − s | ] = ( grad s [ M ( s ) | r − s | ] ) × M ( s ) + rot s [ M ( s ) ] | r − s | = ( r − s ) × M ( s ) | r − s | 3 + rot s [ M ( s ) ] | r − s | (2-4-2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&=\left(\operatorname {grad} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\right)\times \mathbf {M} (\mathbf {s} )+{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\times \mathbf {M} (\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}+{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\qquad {\text{(2-4-2)}}\end{aligned}}} 従って、 M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 = rot s [ M ( s ) ] | r − s | − rot s [ M ( s ) | r − s | ] {\displaystyle {\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}={\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}-\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]} （2-4-3） 従って、 A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s [ M ( s ) ] | r − s | d 3 s − μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s [ M ( s ) | r − s | ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\mathbf {s} \ -{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\mathbf {s} \ } （2-4-4） を得る。さらに、上式の右辺第二項の積分にベクトル解析の公式を適用すると、 − μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s [ M ( s ) | r − s | ] d 3 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) | r − s | ) × d 2 s {\displaystyle -{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\mathbf {s} \ ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\times {d}^{2}\mathbf {s} \ } （2-4-5） を得る。さらに、右辺にベクトル解析の公式を適用すると、 μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) | r − s | ) × d 2 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) × n ∂ Ω | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\times {d}^{2}\mathbf {s} \ ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\ } （2-4-6） が得られる。以上から示すべき式が証明された。 今、 i M ( r ) , K M {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {r} ),\ {\mathbf {K} }_{M}} を、 i M ( r ) := rot [ M ( r ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {r} ):=\operatorname {rot} [\mathbf {M} (\mathbf {r} )]} （体積磁化電流密度） （2-4-7） K M ( r ) := M ( r ) × n ∂ Ω ( r ) {\displaystyle {\mathbf {K} }_{M}(\mathbf {r} ):=\mathbf {M} (\mathbf {r} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }(\mathbf {r} )} (表面磁化電流密度) （2-4-8） と置くと、結局、 A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( i M ( s ) | r − s | ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( K M ( s ) | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {{\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} +\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {K} _{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\ } （2-4-9） となる。 両辺の回転微分を取ると、 B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( K M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} \ +\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {K} _{M}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} （2-4-10） が、判る。この見方は、特に、磁化が一様な場合（より一般にはrot[M]=0）といった特殊な場合に、特に威力を発揮する。
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