(1)普通の面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) d 2 S := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) ⟩ d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle \ d{u}_{1}d{u}_{2}} 上式の右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのスカラー値関数 ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle } を、区間I上で重積分したものを意味する。今、Sの単位法線ベクトル n S {\displaystyle {\mathbf {n} }_{S}} を、 n S := 1 | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) {\displaystyle {\mathbf {n} }_{S}:={\frac {1}{\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)} と定めると、 ∫ s ∈ S X ( s ) d 2 S = ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | n S ⟩ | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf {n} }_{S}\rangle \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}} である。
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