直角三角形によるものとは? わかりやすく解説

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直角三角形によるもの

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/09 10:17 UTC 版)

三角関数」の記事における「直角三角形によるもの」の解説

直角三角形において、1 つ鋭角大きさ決まれば三角形内角の和は 180°であることから他の 1 つ鋭角大きさ決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比(三角比)の値を与え関数考えることができる。 ∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さAB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、 sin ⁡ θ = a h sec ⁡ θ = h b = 1 cos ⁡ θ tan ⁡ θ = a b = sin ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ = b h cosec ⁡ θ = csc ⁡ θ = h a = 1 sin ⁡ θ cot ⁡ θ = b a = 1 tan ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {a}{h}}\\\sec \theta &={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos \theta }}\\\tan \theta &={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\\\cos \theta &={\frac {b}{h}}\\\operatorname {cosec} \theta &=\csc \theta ={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin \theta }}\\\cot \theta &={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}} という 6 つの値が定まるそれぞれ正弦sine; サイン)、正割secant; セカント)、正接tangent; タンジェント)、余弦cosine; コサイン)、余割cosecant; コセカント)、余接cotangent; コタンジェント)と呼びまとめて三角比呼ばれる。ただし cosec長いので csc略記することも多い。ある角 ∠A に対す余弦余割余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対す正弦正割正接として定義されるcos ⁡ θ = sin ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = sin ⁡ ( π 2 − θ ) csc ⁡ θ = sec ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = sec ⁡ ( π 2 − θ ) cot ⁡ θ = tan ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = tan ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &=\sin \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\csc \theta &=\sec \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\cot \theta &=\tan \left(90^{\circ }-\theta \right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\end{aligned}}} 三角比平面三角法用いられ巨大な物の大きさ遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は、通常度またはラジアンである。 三角比、すなわち三角関数直角三角形用いた定義は、直角三角形鋭角に対して定義されるため、その定義域は θ が 0° から 90° まで(0 から π / 2 まで)の範囲限られるまた、θ = 90° (= π / 2) の場合 sec, tan が、θ = 0°(= 0) の場合 csc, cotそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためゼロ除算発生し、その除算自体数学的に定義されないからである。一般角度対す三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理指針として、定義の拡張を行う必要がある後述する単位円による定義は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、正弦定理余弦定理用い方法などがある。

※この「直角三角形によるもの」の解説は、「三角関数」の解説の一部です。
「直角三角形によるもの」を含む「三角関数」の記事については、「三角関数」の概要を参照ください。

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