発展的話題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:07 UTC 版)
「サンクトペテルブルクのパラドックス」の記事における「発展的話題」の解説
このパラドックスを理解するポイントの一つは、ゲームを繰り返す回数である。一言で説明すれば、あらかじめゲームを何回繰り返すかを決めておけば、比較的公平な賭け金を設定できる、ということである。 先述のように、賞金の期待値 W は発散する。したがって、第 n 回目の獲得賞金（n 回コインを投げるという意味ではなく、n はこのゲームに何回参加したかを表す) を Xn とすると、任意の実数 W に対して、 lim n → ∞ P ( | X 1 + X 2 + … + X n n − W | < ϵ ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}-W\right|<\epsilon \right)=1} を満たす正数 ε は存在しない。 次に、どのように発散するかを定量的に評価することを考えてみよう。任意の正数 ε に対し、 lim n → ∞ P ( | X 1 + X 2 + … + X n f ( n ) − W | < ϵ ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{f(n)}}-W\right|<\epsilon \right)=1} となるような関数 f は存在しないのだろうか。実は、W = 1 とすると、f(n) = n log2 n ととることができることが知られている。つまり、 X 1 + X 2 + ⋯ + X n n {\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}} は log2 n のように発散していく。 したがって、このゲームを公平に設定したければ、参加者は最初に何回このゲームに参加したいかを申告してもらい、その回数 n に応じて参加費を n log2 n とすればよいということになる。このゲームへの参加費は、参加回数に対して非線形に増加する特殊な財である。 具体的に考えてみよう。仮に n = 1000 とする。すなわち、このゲームの販売店は、ゲーム1000回分をワンセットとして販売するのである。このときの価格は、約 9969 (≈ 1000 log2 1000) 円程度になる。 一方、ゲーム参加権はまとめ買いするよりもバラで買ったほうが得なので、消費者はバラで買おうとするだろう。すると、販売店側としてはせっかく参加費を非線形化した意味がなくなってしまい、販売店側にとっては不利である。つまり、販売店側はセットを売れば売るほど損をしてしまうし、いつかは大当たりを出されて破産してしまうと予測される。
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