理論の決定可能性とは? わかりやすく解説

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理論の決定可能性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 10:10 UTC 版)

決定可能性」の記事における「理論の決定可能性」の解説

理論論理式集合であり、論理的帰結の下で閉じているとする。理論の決定可能性を問うということはその理論シグネチャ含まれる任意の論理式与えられたとき、その論理式その理論一部かどうか決定する実効手続き存在するかどうかを問うことである。理論公理決まった集合からの論理的帰結集合として定義されているとき、この問題自然に生じる。決定可能一階の理論の例として、実閉体理論プレスブルガー算術があり、決定不能な理論の例として、群の理論ロビンソン算術がある。 理論の決定可能性について、いくつかの基本的結論がある。矛盾を含む理論決定可能である。その理論シグネチャにある論理式はどれでもその理論論理的帰結になりうるため、理論一部となりうるからである。完全で帰納的可算一階の理論決定可能である。決定可能理論拡張したものは決定可能ない場合がある。例えば、命題論理には決定不能な理論もあるが、最小理論である妥当性集合決定可能である。 無矛盾理論で、全ての無矛盾拡張決定不能であるとき、本質的に決定不能であるという。実際全ての矛盾のない拡張本質的に決定不能である。体の理論決定不能だが、本質的に決定不能ではない。ロビンソン算術本質的に決定不能であることが知られており、ロビンソン算術内包する翻訳した全ての無矛盾理論も(本質的に決定不能である。

※この「理論の決定可能性」の解説は、「決定可能性」の解説の一部です。
「理論の決定可能性」を含む「決定可能性」の記事については、「決定可能性」の概要を参照ください。

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