物理的対称性の数学

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物理的対称性の数学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 14:42 UTC 版)

「対称性 (物理学)」の記事における「物理的対称性の数学」の解説

詳細は「en:Symmetry group」を参照 物理的対称性を記述する変換は、典型的に数学における群を形成する。群論は物理学のための数学として重要な分野である。 連続的対称性は「連続群」（リー群と呼ばれる）によって数学的に規定される。多くの物理的対称性は等長写像であり対称群によって規定される。この用語はときに対称性のより一般的な型のために用いられる。球の任意の軸について（どんな角度でも）全ての回転操作の集合は特殊直交群 SO(3) と呼ばれるリー群を形成する（3は通常の球の三次元空間を言及している）。それゆえ、回転操作を持つ球の対称群は SO(3) である。どんな回転もボールの表面上の距離を保存する。全てのローレンツ変換の集合はローレンツ群（これはポアンカレ群へと拡張されるうる）と呼ばれる群を形成する。 離散対称性は離散群によって記述される。例えば、正三角形の対称性は対称群 S3 によって記述される。 「局所的」対称性に基づく物理理論の重要な型はゲージ理論と呼ばれ、そのような理論に自然な対称性はゲージ対称性と呼ばれる。標準模型におけるゲージ対称性は、SU(3) × SU(2) × U(1)群に基づいており、基本相互作用の三つを記述するために用いられる（大まかに言って、SU(3) 群の対称性は強い相互作用を、SU(2) 群は電弱力を、そしてU(1) 群は電磁力を記述する。）。 また、群による作用の下でのエネルギー汎関数（英語版）の対称性による減少および対称群の変換の自発的対称性の破れは素粒子物理学のトピック（例えば、物理的宇宙論における電磁気力および弱い力の統一）を解明するために現れる。