正規確率変数ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/19 11:25 UTC 版)
「多変量正規分布」の記事における「正規確率変数ベクトル」の解説
確率変数ベクトル X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }} が正規確率変数ベクトルであるとは、 ℓ {\displaystyle \ell } 成分の標準正規確率変数ベクトル Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 、 k {\displaystyle k} 次元平均ベクトル μ {\displaystyle \mathbf {\mu } } 、および k × ℓ {\displaystyle k\times \ell } 行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} があって、 X = A Z + μ {\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } } と書けることを言う:p. 454:p. 455。 形式的に表すと： X ∼ N ( μ , Σ ) ⟺ there exist μ ∈ R k , A ∈ R k × ℓ such that X = A Z + μ for Z n ∼ N ( 0 , 1 ) , i.i.d. {\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,{\boldsymbol {\Sigma }})\quad \iff \quad {\text{there exist }}\mathbf {\mu } \in \mathbb {R} ^{k},{\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{k\times \ell }{\text{ such that }}\mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } {\text{ for }}Z_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1),{\text{i.i.d.}}} このとき共分散行列は Σ = A A T {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }} となる。 共分散行列が非正則である（退化している）場合、対応する多変量正規分布は（連続であるような）確率密度関数を持たない。このような事態は統計学ではしばしば起こり、例えば、最小二乗法における残差ベクトルがそうした分布に従うことがある。 また、ここでの成分 X i {\displaystyle X_{i}} の集まりは一般的には独立な確率変数ではないことに注意する。これらは独立な正規確率変数の集まり Z {\displaystyle \mathbf {Z} } に行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} を作用させたものである。
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