正規直交ウェーブレット変換の構成法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 01:53 UTC 版)
「ウェーブレット変換」の記事における「正規直交ウェーブレット変換の構成法」の解説
Riesz基底を成す ϕ {\displaystyle \phi } を、 ϕ {\displaystyle \phi } とそのフーリエ変換が適度に速く減衰し ∫ d x ϕ ^ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \int dx\,{\hat {\phi }}(x)\neq 0} と成るように取る。 直交化をする。即ち、新たな関数 ϕ ∗ ^ ( ξ ) = ϕ ^ ( ξ ) { 2 π ∑ l ∣ ϕ ^ ( ξ + 2 π l ) ∣ 2 } {\displaystyle {\hat {\phi ^{\ast }}}(\xi )={\hat {\phi }}(\xi )\left\{2\pi \sum _{l}\mid {\hat {\phi }}(\xi +2\pi l)\mid ^{2}\right\}} を作る。 ϕ j , n ∗ = 2 j / 2 ϕ ∗ ( 2 j x − n ) {\displaystyle \phi _{j,n}^{\ast }=2^{j/2}\phi ^{\ast }(2^{j}x-n)} に対し、 ϕ ∗ = ∑ n h n ∗ ϕ 1 , n ∗ {\displaystyle \phi ^{\ast }=\sum _{n}h_{n}^{\ast }\phi _{1,n}^{\ast }} を満たす h n ∗ {\displaystyle h_{n}^{\ast }} を用いて、 ψ = ∑ n ( − 1 ) n h − n + 1 ∗ ϕ ∗ ( 2 x − n ) {\displaystyle \psi =\sum _{n}(-1)^{n}h_{-n+1}^{\ast }\phi ^{\ast }(2x-n)} とする。
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