正規方程式に対する共役勾配法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
「共役勾配法」の記事における「正規方程式に対する共役勾配法」の解説
ATAは任意の行列に対して対称（半）正定値となるので、係数行列をATA、右辺をATbとする正規方程式を解くことにより、共役勾配法を任意のn×m行列に対して適用することができる（CGNR法）。 ATAx = ATb 反復法としては、ATAを明示的に保持する必要がなく、行列ベクトル積、転置行列ベクトル積を計算すればよいので、Aが疎行列である場合にはCGNR法は特に有効である。ただし、条件数κ(ATA)がκ(A2)に等しいことから収束は遅くなる傾向があり、前処理行列を使用するCGLS (Conjugate Gradient Least Squares)、LSQRなどの解法が提案されている。LSQRはAが悪条件である場合に最も数値的に安定な解法である。
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