正弦交流の最大値との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 04:47 UTC 版)
t を時刻とする。電気抵抗を R [Ω]、その両端に加える電圧の瞬時値を v(t) [V]、その最大値（振幅）を Vm [V]、実効値を Ve [V]、流れる電流の瞬時値を i(t) [A]、その最大値を Im [A]、実効値を Ie [A]、電力の瞬時値を P(t) [W]、その平均値を PR (W)、交流の角速度（角振動数または角周波数）を ω [rad/s]、周期を T [s]とする。これらの定義より, i ( t ) = I m sin ω t {\displaystyle i(t)=I_{m}\sin \omega t} v ( t ) = V m sin ω t {\displaystyle v(t)=V_{m}\sin \omega t} これらをオームの法則 v ( t ) = R i ( t ) {\displaystyle v(t)=Ri(t)} に代入すると, V m = R I m {\displaystyle V_{m}=RI_{m}} を得る。 また, 電力は電流と電圧の積であるから, P ( t ) = i ( t ) v ( t ) = I m V m sin 2 ω t = R I m 2 sin 2 ω t = R I m 2 1 2 ( 1 − cos 2 ω t ) {\displaystyle P(t)=i(t)v(t)=I_{m}V_{m}\sin ^{2}\omega t=R{I_{m}}^{2}\sin ^{2}\omega t=R{I_{m}}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)} となる。 このP(t) は周期関数であるので、1周期にわたって積分し周期 T で割れば平均電力が求まる: P R = 1 T ∫ 0 T R I m 2 1 2 ( 1 − cos 2 ω t ) d t = R I m 2 2 T [ t − 1 2 ω sin 2 ω t ] 0 T {\displaystyle P_{R}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}R{I_{m}}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)dt={\frac {R{I_{m}}^{2}}{2T}}\left[t-{\frac {1}{2\omega }}\sin 2\omega t\right]_{0}^{T}} ωT = 2π であるので、第2項は0となるので, 上の式は次のようになる。 P R = R ( I m 2 ) 2 {\displaystyle P_{R}=R\left({\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}} これを電圧で表すと次のようになる。 P R = 1 R ( V m 2 ) 2 {\displaystyle P_{R}={\frac {1}{R}}\left({\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}} よって、実効値と最大値の関係は次のようになる。 V e = V m / 2 {\displaystyle V_{e}=V_{m}/{\sqrt {2}}} I e = I m / 2 {\displaystyle I_{e}=I_{m}/{\sqrt {2}}} また、最大値/実効値を波高率という。
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