構造群の縮小
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
部分群 H ⊆ G が与えられた場合、P/H を、ファイバーが同値類 G/H に同相である主束と考えることができる。この新しい束が大域的な切断を有する場合、その切断は、構造群 G の H への縮小であるという。この名前が付けられたのは、この切断の値のファイバーに関する逆像は、主 H 束である P の部分束を形作るからである。H が単位元のとき、P の切断自身は、構造群を単位元に縮小したものになる。構造群の縮小は、常に存在するとは限らない。逆に、構造群の拡大は常に存在する。 束の構造に関する位相的な疑問の多くは、構造群の縮小可能性の問題に置き換えることができる。例えば、 2n 次元実多様体は、その多様体上の枠束（ファイバーは G L ( 2 n , R ) {\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )} ）の構造群 G L ( 2 n , R ) {\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )} が、群 G L ( n , C ) ⊂ G L ( 2 n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )\subset GL(2n,\mathbb {R} )} に縮小できるとき、概複素構造を有する。 n 次元多様体は、その枠束が平行化可能（英：parallelisable）、つまり枠即に大域的切断が存在するとき、n 個のベクトル場であって、各点で互いに線型独立であるものが存在する。 n 次元実多様体は、その枠束の構造群を G L ( k , R ) ⊂ G L ( n , R ) {\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )\subset GL(n,\mathbb {R} )} に縮小できるとき、k 次元超平面の場を有する。
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