極性・接超平面・特異点

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極性・接超平面・特異点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/10/27 01:28 UTC 版)

「二次曲面 (射影幾何学)」の記事における「極性・接超平面・特異点」の解説

一般に、射影二次曲面 Q は射影極性（英語版）と呼ばれるものを定める。これは、点と超平面の間の接続関係を保ちながら、P の任意の点 を P の超平面 へ、あるいはその逆へ写すような写像 ∗ を言う。V の基底を決めれば、極超平面 の係数ベクトルは前節の で与えられる。 点 p が二次曲面 Q 上に無いならば、対応する超平面 h は定義可能（即ち、恒等的に零でない）で、かつ p を含まない。 点 p が二次曲面 Q 上にあって、かつ対応する超平面 h が定義可能ならば、h は p を含む（このとき p は正則点 (regular point) と呼ばれる）。実は、この超曲面 h は点 p における二次曲面 Q の接超平面である。 点 p が二次曲面 Q 上にあって、かつ全ての係数 hi が零となることが起こり得る。このときには曲超平面 は定義されず、点 p は二次曲面 Q の特異点 (singular point, singularity) と呼ばれる。 上記の接超平面は、Q に全く含まれるか、または Q と一点のみで交わるかの何れかを満たす直線全ての交わりであることがわかる。 超平面上の点 に対して、その超平面が二次曲面 Q と において接する条件は、 である。これはまた なる条件とも同値である。 点 が特異点となる条件は と書ける。二次曲面が特異点を持つための必要十分条件は、係数行列 M が対角行列となるようにしたとき対角成分に零が一つ以上現れることである。これにより、二次曲面 Q 上の特異点全体の成す集合が部分射影空間となることがわかる。