時間に依存しないシュレーディンガー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:15 UTC 版)
「シュレーディンガー方程式」の記事における「時間に依存しないシュレーディンガー方程式」の解説
詳細は「固有状態」を参照 ハミルトニアンが時間に陽に依存しないものとして、時間に依存するシュレーディンガー方程式を時間と空間について変数分離すると、波動関数の空間部分に関する方程式としてハミルトニアンの固有値方程式が得られる。この固有値方程式を時間に依存しないシュレーディンガー方程式と呼ぶ。 時間に依存しないシュレーディンガー方程式 H ^ Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}\Psi ({\boldsymbol {x}})=E\Psi ({\boldsymbol {x}})} ここで Ψ は波動関数の空間部分、E はエネルギー固有値である。時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解はエネルギー固有状態と呼ばれる。 ハミルトニアンのエルミート性から、エネルギー固有状態は互いに直交する。互いに直交する状態間では遷移が起こらないため、固有状態は安定な状態として存在できる。空間部分がハミルトニアンの固有状態であるような波動関数は量子系の定常状態に対応し、定常状態の波動関数とか、単に定常状態とか呼ばれる。あるいは原子や分子に束縛された電子の波動関数に対しては、原子軌道や分子軌道といったように、古典模型の言葉を借用して軌道（英: orbital）と呼ぶこともある。 定常状態の波動関数の時間依存部分は以下のような指数関数で表される。 ψ ( x , t ) = e − i E t / ℏ Ψ ( x ) . {\displaystyle \psi (x,t)=e^{-iEt/\hbar }\Psi (x).} シュレーディンガー方程式の変数分離解は特別な定常状態の波動関数となるが、解の線型性から一般の波動関数をいくつかの定常状態の線型結合として表すことができる。 ψ ( x , t ) = ∑ k c E k e − E k t / ℏ Ψ E k ( x ) . {\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k}c_{E_{k}}e^{-E_{k}t/\hbar }\Psi _{E_{k}}(x).} ここで Ek は k でラベル付けされたエネルギー固有値、ΨEk は対応する固有状態、cEk はそれぞれの定常状態の確率的な重みを表す複素数である。
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