時間（時刻の隔たり）の伸び
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「時間（時刻の隔たり）の伸び」の解説
運動する観測者 A があり、A とは別の観測者 B が慣性運動し、A 側の座標系 (ct, x, y, z) にて B の位置が、 x→(τ) = (ct(τ), x(τ), y(τ), z(τ)) と書けるとき、 d s 2 = ( c d t ) 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=(c\mathrm {d} t)^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}} というローレンツ変換について不変な量 s をとり、A側の固有時刻を τ = s / c とする。 c 2 ( d τ d t ) 2 = ( d s d t ) 2 = c 2 − ( d x d t ) 2 − ( d y d t ) 2 − ( d z d t ) 2 = c 2 − v 2 {\displaystyle c^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=c^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=c^{2}-v^{2}} であることより d τ d t = 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\sqrt {1-(v/c)^{2}}}} である。右辺はローレンツ因子 γ の逆数である。これを観測者 A の世界線 C に沿って積分すると T = ∫ C 1 − ( v ( t ) / c ) 2 d t {\displaystyle T=\int _{\mathrm {C} }{\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\mathrm {d} t} により、A 側の固有時間 T が得られる。ここで v(t) は時刻 t における A と B の相対速度である。 v < c ゆえ、積分内は常に1未満であり、慣性系B側の時間 T′ との関係は次式となる： T < T ′ . {\displaystyle T<T'.} これはすなわち、ある慣性系でみたときの時間は固有時間よりも長い事を意味する。 特に観測者 A も慣性運動しているときは、相対速度 v は常に一定であり、次式となる： T = T ′ 1 − ( v / c ) 2 . {\displaystyle T=T'{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}.}
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