時間に陽に依存するハミルトニアンによる時間発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/10 17:58 UTC 版)
「時間順序積」の記事における「時間に陽に依存するハミルトニアンによる時間発展」の解説
シュレディンガー表示の量子力学において、ハミルトニアンHが時間に陽に依存する場合を考える。このとき、時間順序積を用いると時間発展作用素を簡明に表現することができる。系の時間発展作用素Uは状態|ψ(t)〉に対して、 | ψ ( t ) ⟩ = U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } の関係を与えるものとして定義され、関係式 U ^ ( t 1 , t 3 ) = U ^ ( t 1 , t 2 ) U ( t 2 , t 3 ) ( t 1 > t 2 > t 3 ) U ^ ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t_{1},t_{3})&={\hat {U}}(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{3})&(t_{1}>t_{2}>t_{3})\\{\hat {U}}(t_{0},t_{0})&=I\end{aligned}}} を満たす。シュレディンガー方程式より i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ = H ^ ( t ) U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle ={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } であるから、U は積分方程式 U ^ ( t , t 0 ) = I − i ℏ ∫ t 0 t d s H ^ ( s ) U ^ ( s , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=I-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}ds{\hat {H}}(s){\hat {U}}(s,t_{0})} を満たす。この積分方程式の解は逐次積分によって求めることができ、ノイマン級数 U ^ ( t , t 0 ) = I − i ℏ ∫ t 0 t d t 1 H ^ ( t 1 ) + ( − i ℏ ) 2 ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t 1 d t 2 H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) + ( − i ℏ ) 3 ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t 1 d t 2 ∫ t 0 t 2 d t 3 H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) H ^ ( t 3 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})=I-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}{\hat {H}}(t_{1})&+\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2})\\&+\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{3}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int _{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2}){\hat {H}}(t_{3})+\dotsb \end{aligned}}} で与えられる。ここで、異なる時間におけるハミルトニアンは必ずしも可換ではないため、積分の中の順序は前の時刻にある演算子ほど右側に位置するように保たれなくてはならない。ここで、時間順序積の表現を導入すれば、この級数は U ^ ( t , t 0 ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − i ℏ ) n ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t d t 2 ⋯ ∫ t 0 t d t n T { H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) ⋯ H ^ ( t n ) } = T { exp ( − i ℏ ∫ t 0 t d s H ^ ( s ) ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\dotsb \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}T\{{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2})\dotsb {\hat {H}}(t_{n})\}\\&=T\{\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}ds{\hat {H}}(s)\right)\}\end{aligned}}} と簡明にまとめることができる。
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