指数_(初等整数論)

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指数 (初等整数論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/17 09:23 UTC 版)

初等整数論における指数（しすう、index）は、解析学における指数関数・対数関数の概念の類似物である。標数と呼ばれることもある。

定義

互いに素な正の整数 n と整数 a に対して a^k ≡ 1 (mod n) なる合同式が成り立つような最小の正の整数 k を、n を法とする a の位数（いすう、multiplicative order of a modulo n）と呼び、 ord_n (a) や O_n(a) などと記す。

φ(n) を n のオイラー数とするとき、ord_n(g) = φ(n) となる整数 g が存在するならば、g の属する法 n の剰余類 g mod n を n を法とする原始根（げんしこん、primitive root modulo n）と呼ぶ。すなわち n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)^× が巡回群であるときの、その生成元のことである。

原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。

g mod n が法 n に関する原始根であるならば、原始根の定義により任意のa mod n ∈ (Z / n Z)^× に対して

$g^{e}\equiv a{\pmod {n}}$

なる整数 e が φ(n) を法として唯一つ定まる。このときこの e mod φ(n) を、原始根 g mod n を底（てい、base）とする a mod n の指数とよび、Ind_g(a) と記す。

紛れのおそれが無いならば、これらの定義に現れる剰余類（に関する記述）をその代表元となる整数（に関する記述）であるかのように記す。

性質

以下、g を整数 n を法とする原始根として任意に選んで固定しておく。また、a や b は n とは互いに素であるとする。

• 定義：

  $g^{\operatorname {Ind} _{g}(a)}\equiv a{\pmod {n}}.$

• a ≡ b (mod n) であることと Ind_g(a) ≡ Ind_g(b) (mod φ(n)) であることとは同値である。

• Ind_g(1) ≡ 0 (mod φ(n))
• Ind_g(g) ≡ 1 (mod φ(n))
• Ind_g(ab) ≡ Ind_g(a) + Ind_g(b) (mod φ(n))
• Ind_g(a^k) ≡ k * Ind_g(a) (mod φ(n))

参考文献

• 高木, 貞治 『初等整数論講義』 共立出版、1971年、第2版。ISBN 978-4320010017。

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「指数 (初等整数論)」の例文・使い方・用例・文例

• 物価指数
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• ３月の米消費者物価指数が市場の予想を下回る
• JPモルガン社がJPモルガン世界国債指数を発表した。
• スタンダードアンドプアーズ500種指数は2008年以降の最高水準まで急上昇した。
• 数ヶ国の生活費が過去10年間に渡って大幅な増加傾向あることをビッグマック指数が明白に物語っている。
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